¿Cuál es el mecanismo de vector propio?

Question

He estudiado autovalores y autovectores pero todavía no veo es cómo se transforman los autovectores o vectores rotados.

Answer 1

De la matriz como un mapa

¿Cómo funciona una matriz de transformar el lugar geométrico de los vectores unitarios?

Un ejemplo de la matriz, tales como $$\mathbf{A} = \left[ \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right].$$ Como se nota por @Widawensen, una representación conveniente de la unidad de círculo es el lugar geométrico de los vectores $\mathbf{S}$: $$\mathbf{S} = \left[ \begin{array}{l} \cos \theta \\ \sin \theta \end{array} \right], \quad 0 \le \theta \lt 2\pi$$ La matriz producto se muestra la asignación de acción de la matriz $\mathbf{A}$: $$\mathbf{A} \mathbf{S} = \left[ \begin{array}{cc} \cos (\theta )-\sin (\theta ) \\ \sin (\theta ) \end{array} \right]$$

Los grácos muestran el color de los vectores de la unidad círculo de la izquierda. A la derecha vemos cómo la matriz $\mathbf{A}$ cambios de los vectores unitarios.

La descomposición de valor Singular

Para entender el mapa, empezamos con la descomposición de valor singular: $$\mathbf{A} = \mathbf{U} \, \Sigma \, \mathbf{V}^{*}$$ La belleza de la SVD es que cada matriz tiene una descomposición de valor singular (existencia); el poder de la enfermedad vesicular porcina es la que resuelve los cuatro subespacios fundamentales.

La descomposición de valor singular es un eigendecomposition de la matriz producto $\mathbf{A}^{*} \mathbf{A}$. Los valores singulares son la raíz cuadrada de la autovalores distintos de cero $$\sigma \left( \mathbf{A} \right) = \sqrt{ \lambda \left( \mathbf{A}^{*} \mathbf{A} \right) }$$ Los valores singulares son, por construcción, positivo y habitualmente están ordenados. Para una matriz de rango $\rho$, la expresión es $$\sigma_{1} \ge \sigma_{2} \ge \dots \ge \sigma_{\rho} > 0$$ Los vectores propios normalizados son los vectores columna de el dominio de la matriz $\mathbf{V}$. Los vectores columna para el codominio de la matriz $\mathbf{U}$ se construye a través de $$\mathbf{U}_{k} = \sigma_{k}^{-1} \left[ \mathbf{A} \mathbf{V} \right]_{k}, \quad k=1,\rho.$$

Gráficamente, la enfermedad vesicular porcina se parece a esto:

La primera columna del vector se representa en negro, la segunda en azul. Ambos sistemas de coordenadas son zurdos (determinante = -1). El SVD orienta estos vectores para alinear el dominio y el codominio.

Aviso en la asignación de acción con la que algunos vectores de reducir, a otros a crecer. El dominio y el codominio tienen diferentes escalas de longitud, y esto se ve reflejado en los valores singulares. A continuación, los valores singulares se representa como una elipse con ecuación $$\left( \frac{x}{\sigma_{1}} \right)^{2} + \left( \frac{y}{\sigma_{2}} \right)^{2} = 1.$$

Enfermedad vesicular porcina y el mapa

Por último, hemos de llevar las piezas a unir mediante la toma de la imagen de mapa de $\mathbf{A}\mathbf{S}$ y la superposición de los vectores de la base del codominio $\mathbf{U}$, que se ajustan a los valores singulares.

El negro vector es $\sigma_{1} \mathbf{U}_{1}$, el azul es $\sigma_{2} \mathbf{U}_{2}$.

Poderes

Aplicaciones repetidas del mapa acentuar los efectos de la mapa. Para este ejemplo $$\mathbf{A}^{k} = \left[ \begin{array}{cr} 1 & -k \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right], \quad k = 1, 2, 3, \dots$$ Los primeros mapas en la secuencia que se muestra a continuación en una escala común:

Answer 2

Lineal mapas de $T:\>V\to W$ sentido entre dos espacios vectoriales $V$, $W$ en el mismo campo de tierra $F$.

Las nociones de autovalores y autovectores sólo sentido lineal mapas de $T:\>V\to V$ asignación de algunas espacio vectorial $V$ dentro de sí mismo. Un vector $v\ne0$ que es "por casualidad" se asignan a un escalar múltiples $\lambda v$ de la misma se llama un vector propio de a $T$. Un vector es, quizás, se encogen o se extendía por $T$, pero no es "girar" o "roto" en ninguna manera. Los números de $\lambda$ se producen en tales circunstancias se llaman autovalores de a $T$. Es un milagro que (en lo finito dimensional caso) $T$ sólo puede tener un número finito de valores propios.