He estudiado autovalores y autovectores pero todavía no veo es cómo se transforman los autovectores o vectores rotados.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?De la matriz como un mapa
¿Cómo funciona una matriz de transformar el lugar geométrico de los vectores unitarios?
Un ejemplo de la matriz, tales como A=[1−101]. Como se nota por @Widawensen, una representación conveniente de la unidad de círculo es el lugar geométrico de los vectores S: S=[cosθsinθ],0≤θ<2π La matriz producto se muestra la asignación de acción de la matriz A: AS=[cos(θ)−sin(θ)sin(θ)]
Los grácos muestran el color de los vectores de la unidad círculo de la izquierda. A la derecha vemos cómo la matriz A cambios de los vectores unitarios.
La descomposición de valor Singular
Para entender el mapa, empezamos con la descomposición de valor singular: A=UΣV∗ La belleza de la SVD es que cada matriz tiene una descomposición de valor singular (existencia); el poder de la enfermedad vesicular porcina es la que resuelve los cuatro subespacios fundamentales.
La descomposición de valor singular es un eigendecomposition de la matriz producto A∗A. Los valores singulares son la raíz cuadrada de la autovalores distintos de cero σ(A)=√λ(A∗A) Los valores singulares son, por construcción, positivo y habitualmente están ordenados. Para una matriz de rango ρ, la expresión es σ1≥σ2≥⋯≥σρ>0 Los vectores propios normalizados son los vectores columna de el dominio de la matriz V. Los vectores columna para el codominio de la matriz U se construye a través de Uk=σ−1k[AV]k,k=1,ρ.
Gráficamente, la enfermedad vesicular porcina se parece a esto:
La primera columna del vector se representa en negro, la segunda en azul. Ambos sistemas de coordenadas son zurdos (determinante = -1). El SVD orienta estos vectores para alinear el dominio y el codominio.
Aviso en la asignación de acción con la que algunos vectores de reducir, a otros a crecer. El dominio y el codominio tienen diferentes escalas de longitud, y esto se ve reflejado en los valores singulares. A continuación, los valores singulares se representa como una elipse con ecuación (xσ1)2+(yσ2)2=1.
Enfermedad vesicular porcina y el mapa
Por último, hemos de llevar las piezas a unir mediante la toma de la imagen de mapa de AS y la superposición de los vectores de la base del codominio U, que se ajustan a los valores singulares.
El negro vector es σ1U1, el azul es σ2U2.
Poderes
Aplicaciones repetidas del mapa acentuar los efectos de la mapa. Para este ejemplo Ak=[1−k01],k=1,2,3,… Los primeros mapas en la secuencia que se muestra a continuación en una escala común:
Lineal mapas de T:V→W sentido entre dos espacios vectoriales V, W en el mismo campo de tierra F.
Las nociones de autovalores y autovectores sólo sentido lineal mapas de T:V→V asignación de algunas espacio vectorial V dentro de sí mismo. Un vector v≠0 que es "por casualidad" se asignan a un escalar múltiples λv de la misma se llama un vector propio de a T. Un vector es, quizás, se encogen o se extendía por T, pero no es "girar" o "roto" en ninguna manera. Los números de λ se producen en tales circunstancias se llaman autovalores de a T. Es un milagro que (en lo finito dimensional caso) T sólo puede tener un número finito de valores propios.