Pregunta sobre grupos solucionables

Question

Cómo demostrar los siguientes: Grupos de orden menor que 60, se pueden resolver?

He intentado hacer esto demostrando que los grupos de orden $p^n$, $p q$, $p^2 q$, $p q r$ para los números primos $p$, $q$, $r$ son resolubles. De este modo, casi todo grupo de orden menor que 60 es eliminado. Precisamente, sólo queda mostrar que los grupos de la orden de 24, 40, 48, 54, 56 son resolubles. A mí me parece que esto es demasiado complicado de resolver, así que me gustaría saber es que hay alguna otra más elegante (y más corto) solución del problema.

Gracias de antemano.

Answer 1

Burnsides Teorema de estado que si $G$ es un grupo finito de orden $p^aq^b$ donde $p$ $q$ son los números primos y los $a$ $b$ son enteros no negativos son resolubles. También el uso de sylow teorema se puede demostrar que cualquier grupo de orden $pqr$ donde $p$, $q$ y $r$ son distintos de los números primos son resolubles. Por lo tanto, cualquier grupo de orden menor que 60 son resolubles.

DE OTRA MANERA

Tenga en cuenta que $A_5$ es el más pequeño no abelian simple grupo y de su orden es de 60. Por lo tanto, en cualquier subnormal de serie de cualquier grupo de orden menor que 60, $A_5$ no es una composición factor. Por lo tanto todos los grupos de orden menor que 60 son todos los que tienen solución.