Se define la transformada de Fourier de $f \in L^1(\mathbb{R}^n)$ con la fórmula habitual $\int e^{-i k \cdot x} f(x) dx$. Esto no funciona para las funciones en $L^2(\mathbb{R}^n)$. La definición de la integral puede no converger. Sin embargo, se puede extender la transformada de Fourier a $L^2(\mathbb{R}^n)$ por su continuidad. En primer lugar demostrar que la transformada de Fourier en Schwartz funciones de $S \subset L^2(\mathbb{R}^2)$ es una isometría con respecto a la $L^2$ norma. Entonces, por la continuidad (isometrías son continuos) de la transformada de Fourier en $S$ y el densinty de $S$$L^2(\mathbb{R}^n)$, se puede extender la transformada de Fourier para el conjunto de la $L^2(\mathbb{R}^n)$ como una isometría. $L^2(\mathbb{R^n})$ es completa por lo que la extensión es único y surjective. Por lo tanto es unitario, no sólo es una isometría. Por lo tanto la transformada de Fourier de una $L^2(\mathbb{R^n})$ función también es una $L^2(\mathbb{R^n})$ función y conserva en el interior del producto.
La de arriba es una bastante larga cita del material en una clase que asistir. No tengo sólida experiencia en el análisis, pero estoy luchando para entender el argumento anterior. Creo que puedo entender la mayoría de la parte excepto la singularidad y surjectivity. ¿Por qué la integridad garantiza la singularidad y surjectivity?
He leído algunos libros de texto sobre el mismo tema y encontró que el bijectivity es generalmente demostrado por la extensión de la inversión de la fórmula de la $S$$L^2$, lo que yo puedo entender. Por la singularidad, no podía encontrar ningún argumento en mis libros de texto. ¿La integridad de $L^2$ realmente asegurar la unicidad y surjectivity?
