Desigualdad que implican números reales positivos

Question

Deje $x_1,x_2,\cdots x_n,x_{n+1}$ ser cualquier número real mayor o igual a $1$.

A continuación, para $n\ge 2,$ estaba tratando de verificar la validez de la desigualdad $$\frac{n-1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+x_k}+\frac{1}{1+x_{n+1}}+\frac{1}{1+x_1.x_2.\cdots.x_n}\ge \frac{n}{n+1}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{1+x_k}+\frac{1}{1+x_1x_2\cdots x_nx_{n+1}}.$$ Puede que amablemente buscar a tus sugerencias?

El mismo resultado puede ser tratado cuando se $x_1,x_2,\cdots x_n,x_{n+1}$ son no-negativos los números reales menores o iguales a $1$.

Answer 1

Un intento hacia la solución: tenemos que demostrar <span class="math-container">$$(n^2-1)\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+xk}+\frac{n(n+1)}{1+x{n+1}}+\frac{n(n+1)}{1+x_1.x_2.\cdots.xn}\ge n^2\sum{k=1}^{n+1}\frac{1}{1+x_k}+\frac{n(n+1)}{1+x_1x_2\cdots xnx{n+1}},$$ which is équivalent to <span class="math-container">$% $ $\frac{n}{1+x_{n+1}}+\frac{n(n+1)}{1+x_1.x_2.\cdots.x_n}-\frac{n(n+1)}{1+x_1x_2\cdots xnx{n+1}}-\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+xk}\geq 0.$</span> cuando <span class="math-container">$x{n+1}=1$</span> el resultado es cierto. Pero para valores muy grandes de <span class="math-container">$xn,x{n+1} (x{n}\rightarrow\infty, x{n+1}\rightarrow\infty)$</span> la desigualdad anterior no es cierto. ¡Espero que mi argumento es correcto!</span>

Answer 2

La desigualdad es igual a

$$\frac{n-1}{n}\Big(\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+x_k}\Big)+\frac{1}{1+x_{n+1}}+\frac{1}{1+x_1.x_2.\cdots.x_n} \ge \frac{n}{n+1}\Big(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+x_k}\Big)+\frac{n}{n+1}\Big(\frac{1}{1+x_{n+1}}\Big)+\frac{1}{1+x_1x_2\cdots x_nx_{n+1}}$$

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Sabemos que $\frac{n-1}{n}>\frac{n}{n+1}$ por lo tanto

$$\frac{n-1}{n}\Big(\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+x_k}\Big)\ge\frac{n}{n+1}\Big(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+x_k}\Big)$$

Desde $1>\frac{n}{n+1}$ $$\frac{1}{1+x_{n+1}}\ge\frac{n}{n+1}\Big(\frac{1}{1+x_{n+1}}\Big)$$

Desde $a\le b \implies \frac{1}{a} \ge \frac{1}{b}$ por lo tanto

$$\frac{1}{1+x_{n+1}}\ge\frac{1}{1+x_1.x_2.\cdots.x_n.x_{n+1}}$$

La adición de las tres ecuaciones anteriores nos da la desigualdad a la que buscamos. $\ _\square$