encuentra$A,B$ en forma que$f:A\rightarrow B$ es bijective, cuando$f(x)=\sqrt{x^2-1}$

Question

Problema

encontrar $A,B$ en la forma en que $f:A\rightarrow B$ es bijective, cuando $f(x)=\sqrt{x^2-1}$.

Intento resolver

mapa de $f:A \rightarrow B$ es bijective cuando surjective y inyectiva simultáneamente. Este mapa es inyectiva cuando:

$$ \forall(x,y) \in A : x \neq y \implies f(x) \neq f(y) $$

Este mapa es surjective cuando:

$$ \forall y \in B \exists x \in A : f(x)=y $$

si la función de $f(x)$ es "realmente" monótono que implica que la función tiene que ser inyectiva.

Observación:

$$ \forall x \in \mathbb{R} : \frac{d}{dx}f(x) \neq 0$$

$$ \frac{d}{dx}\sqrt{x^2-1}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = f'(x) $$

Se ve que la única manera de $f'(x)$ podrían ser cero, es cuando $x=0$ pero $\sqrt{-1}$ no está definido en $\mathbb{R}$

lo que implica que $f(x)$ es inyectiva si tomamos $A$ de una manera:

$$ A\in \mathbb{R}\setminus[-1,1] $$

y $B$:

$$ B \in \mathbb{R} $$

hemos mapa: $$ f:\mathbb{R}\setminus[-1,1] \rightarrow \mathbb{R} $$

La función inversa de a$f(x)$ puede ser calculada mediante la resolución y a partir de la siguiente ecuación. La función inversa es el mapa $f^{-1}:B \rightarrow A$

$$ \sqrt{x^2-1}=y $$

$f(x)$ se define cuando : $x^2-1 \ge 0 \implies x^2\ge 1 \implies -1 \ge x \ge 1$

$$ x^2-1=y^2 $$

$$ x^2=y^2+1 \implies x=\pm \sqrt{x^2+1} $$

$$ h^{-1}(x)=\sqrt{x^2+1} $$

significado $f(x)$ es surjective. Lo que implica $f(x)$ es bijective cuando:

$$ A\in \mathbb{R}\setminus[-1,1], B \in \mathbb{R} $$

Answer 1

Usted ha cometido un error

$$\frac{d}{dx}\sqrt{x^2-1}=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} = f'(x)$$

por lo tanto, $f(x)$ es inyectiva de a$x>1$ o de $x<-1$.

luego de la surjectivity basta observar que $$\lim_{x\to \pm \infty} f(x) = \infty$$

a continuación, $f(x)$ es bijective para las siguientes restricciones

• $f_1:(-\infty,a]\to [0,\infty)$
• $f_2:[b,\infty)\to [0,\infty)$

con $a\le -1$ e $b\ge 1$

Answer 2

Desde $f(x)=f(-x)$, $|x|\ge1$, en su conjunto $A$ puede contener sólo una entre un número y su negativo.

La elección más natural es $A=[1,\infty)$, pero obviamente no el único; también el conjunto $A'$ consiste racionales $\ge1$ y el irrationals $<-1$ haría.

Ambos $A$ e $A'$ son de "máxima", en el sentido de que no se puede agregar cualquier número en el dominio de $\sqrt{x^2-1}$ a $A$ o $A'$ y aún así tener una función inyectiva. Hay infinitamente muchas opciones de "máxima dominios de inyectividad", más notablemente $(-\infty,-1]$; que elegir es una cuestión de preferencias y de la sencillez.

Sigamos con $A=[1,\infty)$. La ecuación de $\sqrt{x^2-1}=y$ sólo puede tener una solución si $y\ge0$. En este caso se convierte en $x^2-1=y^2$, lo $x=\sqrt{y^2+1}$, lo que existe (y es $\ge1$) para todos los $y\ge0$.

De ahí su conjunto $B$ es $[0,\infty)$.

Answer 3

Podemos tomar$$A=[1,+\infty)$ $

ps

$$(\forall x>1) \; f'(x)=\frac{x}{f(x)}$ es continuo en$f$ y aumenta estrictamente en$A$, por lo que está aumentando estrictamente en$(1,\infty)$.

ps

$A$ es una biyección de$$f(A)=[0,+\infty)=B$ en$f$.

Answer 4

Tiene dos buenas opciones para $A$ y para cada caso tiene una opción para $B$

Primera opción: permita que $A= (-\infty,-1]$, mientras que $B= [0,\infty)$ su función disminuya estrictamente.

Segunda opción: Permita que $A= [1,\infty)$, mientras que $B= [0,\infty)$ su función aumente estrictamente.

Answer 5

Cuando usted sólo tiene que dar una $A$ e $B$ tal que $f: A\to B$, $f(x)=\sqrt{x^2-1}$ es bijective, ¿por qué no simplemente tomar $A=\{1\}$ e $B=\{0\}$.

Si desea finde la máxima tiempos parciales usted podría ir así:

Construimos $f^{-1}$ y mientras lo hacemos, tenemos que tener en cuenta que cuando las operaciones que utilizamos son definidos o equivialent transformaciones.

$x=\sqrt{(y-1)(y+1)}$ Primera de todas las $y\geq 1$ o $y\leq -1$, más la raíz cuadrada no está definido.

Nos cuadrado ambos lados. Por lo tanto $x\geq 0$:

$x^2=y^2-1\Leftrightarrow y^2=x^2+1$

$y_{1,2}=\pm\sqrt{x^2+1}$

Esto nos da dos soluciones.

Si $y\leq -1$, que significa $y\in (-\infty, -1]$, a continuación, $f^{-1}(x)=-\sqrt{x^2+1}$.

Si $y\geq 1$, que significa $y\in [1,\infty)$, a continuación, $f^{-1}(x)=\sqrt{x^2+1}$

Esto nos da por supuesto que los intervalos que $f$ es un bijection. Tuvimos $x\geq 0$ lo que significa que $x\in[0,\infty)$

Y las dos soluciones son $f:[1,\infty)\to\mathbb{R}_{\geq 0}$ o $f:(-\infty,-1]\to\mathbb{R}_{\geq 0}$