Cálculo integral utilizando la notación de sumatoria

Question

¿Estoy tratando de entender <span class="math-container">$$\lim{n\to\infty}\frac{3}{n}\sum{k=1}^{n} \left(\left(\frac{3k}{n}\right)^2- \left(\frac{3k}{n}\right) \right).$$ I believe we can take <span class="math-container">$a = 0, b = 3$</span> and so this is equivalent to <span class="math-container">$%$ $\int_{0}^{3} (x^2-x) \, dx.$</span> es esto correcto?</span>

Answer 1

Recordar que en general por la suma de Riemann

<span class="math-container">$$\lim{n\to \infty}\frac{b-a}n\sum{k=0}^{n} f\left(a+{k\over n}(b-a)\right)=\int_a^b f(x) dx$$</span>

y en su caso por <span class="math-container">$a=0$</span> <span class="math-container">$b=3$</span> tenemos

<span class="math-container">$$\lim{n\rightarrow\infty}\frac{3}{n}\sum{k=1}^n\left(\left(\frac{3k}{n}\right)^2-\frac{3k}{n}\right)=\int_0^3(x^2-x) dx$$</span>

Answer 2

Si $f$ es Riemann integrable en $[a,b]$ $$\lim{n\to +\infty}\frac{b-a}{n}\sum{k=1}^nf(a+k\frac{b-a}{n})=\int_a^bf(x)dx

en su caso $$a=0, \; b=3,\; f(x)=x^2-x$ $ y$$ \int_0^3f=\frac 92