¿Existe un subconjunto mensurable$A \subset \mathbb{R}$, tal que$\mu(A)$ es finito, pero$\mu(\{a+b|a,b\in A\}) = \infty$?

Question

¿Existe un subconjunto mensurable$A \subset \mathbb{R}$, tal que$\mu(A)$ es finito, pero$\mu(\{a+b|a,b\in A\}) = \infty$? Aquí$\mu$ representa la medida de Lebesgue.

Si existe ese subconjunto, no puede delimitarse: supongamos que lo es. Entonces existe tal$a \in \mathbb{R}$ tal que$A \subset [-a;a]$. Eso resulta en$\{a+b|a,b\in A\} \subset [-2a;2a]$, de lo cual se desprende que$\mu(\{a+b|a,b\in A\}) \leq 4a$ es finito.

Sin embargo, no sé cómo resolver el problema en general.

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

<span class="math-container">$A=[0,1]\cup\mathbb Z$</span> es un conjunto cerrado, <span class="math-container">$\mu(A)=1$</span> <span class="math-container">${a+b:a,b\in A}=\mathbb R.$</span>

Answer 2

Lo suficientemente interesante como usted puede incluso encontrar un conjunto de medida $0$.

De hecho, si $C$ es el terciario conjunto de Cantor, a continuación, $C+C=\{ a+b : a,b \in C\} =[0,2]$ ver esta pregunta

Entonces $$A= \bigcup_{n \in \mathbb Z} 2n+C$$ tiene una medida de $0$ pero $A+A=\mathbb R$.