Qué mal puede Dini del teorema de error si el p.w. el límite no es continua?

Question

Dini del teorema se ve comúnmente en los análisis real de los cursos (posiblemente con el requisito de que $X$ ser un espacio métrico compacto si espacios topológicos son todavía en el futuro), pero supongamos que uno quería dar un ejemplo de cuánto puede fallar sin el requisito de que la pointwise límite de la secuencia de funciones es continua. El problema por lo tanto es:

Presentan una secuencia de funciones continuas $f_n: [0,1] \to [0,1]$ pointwise monótonamente decreciente de una función de $f: [0,1] \to [0,1]$ tal que el conjunto de puntos donde $f$ es discontinuo, tiene una medida de $1$.

Por ejemplo, esto podría ser utilizado para demostrar lo mal que se comportó de la integral de Riemann es con respecto a pointwise límites ya que la secuencia de $(f_n)$ es casi tan agradable como usted puede posiblemente llegar sin ser uniformemente convergente y $f$ es, obviamente, Lebesgue integrable, pero "al máximo falla" para satisfacer Lebesgue del criterio de integrabilidad de Riemann. Además, se demostraría la existencia de comeagre Lebesgue nula establece porque el conjunto de puntos donde $f$ es continua es comeagre por la Baire-Osgood teorema (¿alguien tiene una buena línea gratis de referencia para este? (EDIT: me escribió uno mismo)).

PS: yo sé de un ejemplo a mí mismo (y voy a ser, obviamente, la publicación más tarde si nadie puestos uno); estoy haciendo para poder tener una referencia de punto.

Answer 1

Para cada una de las $k\in \mathbb N$, vamos a $C_k$ ser un subconjunto cerrado de $[0,1]$ con vacío interior y medida mayor que $1-\frac{1}{k}$, por ejemplo, una grasa conjunto de Cantor. Deje $g_k(x)=$la distancia de$x$$C_k$. Deje $f_n(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty2^{-k}(1-g_k(x))^n$. Cada sumando es continua y la convergencia de la serie es uniforme, de manera que cada una de las $f_n$ es continua. La secuencia de $(f_n)$ disminuye hasta un límite de $f$ $0$ en el complemento de $\bigcup\limits_{k=1}^\infty C_k$, y positivo en $\bigcup\limits_{k=1}^\infty C_k$. Desde el complemento de $\bigcup\limits_{k=1}^\infty C_k$ es denso por Baire teorema, esto implica que $f$ es discontinua en cada punto en $\bigcup\limits_{k=1}^\infty C_k$. Desde $C_m\subset \bigcup\limits_{k=1}^\infty C_k$ por cada $m$, $\bigcup\limits_{k=1}^\infty C_k$ tiene una medida de $1$.

Answer 2

Como había prometido, aquí está mi respuesta.

Deje $D = \{x_1,x_2,\dotsc\}$ ser una contables subconjunto denso de $(0,1)$ y dejar $$ \begin{align*} U_i &= \bigcup_{j=1}^\infty (x_j-2^{-i-j},x_j+2^{-i-j}) \cap (0,1) \text{ and} \\ K_i &= [0,1] \setminus U_i. \end{align*} $$ Por lo tanto cada una de las $K_i$ es compacto y denso en ninguna parte en $[0,1]$$m(K_i) \geq 1-2^{-i}$.

Los conjuntos de $\{x_i\}$ $K_i$ son distintos subconjuntos cerrados de la $T_6$ espacio $[0,1]$ (es cierto que esto es un poco de un nucleares matamoscas), por lo que para cada una de las $i \in \mathbb N$ es continua, $f_i: [0,1] \to [0,1]$ tal que $f_i$ $0$ exactamente en $x_i$ $f_i$ $1$ exactamente en $K_1 \cup \dotsb \cup K_i$.

Definir $g_i = f_1f_2\dotsb f_i$. A continuación, la secuencia $(g_i)$ es pointwise monótonamente decreciente, por lo que converge a una función de $g: [0,1] \to [0,1]$.

Si $x \in K = \bigcup_{i=1}^\infty K_i$, entonces es en algunos $K_i$, y, a continuación, tenemos para todos los $j \geq i$ que $f_j(x) = 1$. Tenemos que $x \notin D$, lo $(g_n(x)) = (\prod_{i=1}^nf_i(x))$ finalmente es constante y todos los factores son positivos. Por lo tanto $g(x) > 0$, y desde $g|_D = 0$ $D$ es densa, $g$ debe ser discontinua en $x$. Desde $x$ era arbitraria, llegamos a la conclusión de que $g$ es discontinua en a $K$ - un comeagre conjunto de medida $1$.