¿Es un monoide conmutativo si$(ab)^2=a^2b^2$?

Question

Deje que M sea un monoide. Supongamos que:$(ab)^2=a^2b^2$ para cualquier elemento a, b en M. ¿Es M conmutativa? El resultado es obviamente cierto para los grupos, pero no puedo encontrar un contraejemplo para los monoides. Y sin la ley de cancelación, no puedo mostrar que sea verdadera tampoco.

Answer 1

Deje$M=\{0,1,2\}$ y$$a*b= $$\begin{cases}a&b=0\\b&\text{otherwise}\end{cases}$$

Answer 2

He aquí una menos ad hoc, de modo de obtener un contraejemplo. Considere la posibilidad de la libre monoid $F$ a $x$ e $y$. Cada elemento de a$F$ es una palabra en $x$ e $y$. Deje $S\subset F$ el conjunto de palabras de longitud mayor que $2$, y deje $M$ ser el cociente de $F$ por la relación de equivalencia que identifica todos los elementos de a$S$ juntos (es fácil ver que esta es una relación de congruencia). A continuación, $(ab)^2=a^2b^2$ para todos los $a,b\in M$, desde cualquier instancia de este con $a,b\neq 1$ debe tener ambos lados, sean palabras de longitud mayor que $2$. Sin embargo, no es conmutativa porque $xy\neq yx$. Explícitamente $M=\{1,x,y,xy,yx,\infty\}$ donde cualquier producto que se dé una palabra de longitud mayor que $2$ es $\infty$.

La idea motivadora aquí es que si hay algún contraejemplo, a continuación, el ejemplo universal sería un contraejemplo. Que es, en $F$ modulo de la congruencia relación que identifica a $(ab)^2$ e $a^2b^2$ para todos los $a,b\in F$, necesitaríamos $x$ e $y$ a viajar. Ahora, esta relación de equivalencia es complicado y difícil de pensar, pero se puede observar que sólo identifica las palabras que tienen la longitud de, al menos, $4$ (excepto en los casos triviales donde $a$ o $b$ es $1$). Así vemos que podemos utilizar una mayor relación de equivalencia que se comprueba fácilmente a ser una congruencia, pero que aún no identifican a $xy$ e $yx$.

Answer 3

Esta pregunta puede ser contestada por la búsqueda sistemática, pero también mediante un ejemplo sencillo. Si $\, x*y = x \,$ para todos los $\, x\,$ entonces $\, * \,$ es asociativa, pero no conmutativa. Empezar con $\, M = \{0,1\} \,$ y extender con un elemento de identidad $\, e. \,$ Así $\, M=\{0,1,e\}, \,$ donde $\, e*x = x*e = x\,$ para todos los $\, x \in M \,$ e $\, x*y = x \,$ para todos los $\, x,y \in \{0,1\} .\,$ Ahora, $\, a^2 = a \,$ para todos los $\, a \in M \,$ y $\, (a*b)^2 = a*b = a^2*b^2 \,$ para todos los $\, a,b \in M. \,$

Este es el más pequeño ejemplo, ya que cualquier monoid con menos de tres elementos es conmutativa. Durante tres elementos es único hasta el isomorfismo y revertir el orden de la operación binaria.