$(\varphi,\Gamma)$ -y valoración en Zp

Question

La teoría de $(\varphi,\Gamma)$ -y una ley de reciprocidad debida a Cherbonnier y Colmez implican el anillo $A_K$ que se describe a continuación.

La pregunta es por qué para la valoración definida como $l_(a):=min\{i| p^ - does- not- divide - a_i\}$ de $a=\sum_i a_i(\pi_k)^i$ $\in$ $A_K$ El $l_1(a)$ es independiente de la elección del uniformizador para $A_K$ pero $l_v(a)$ para $v\geq2$ ¿no?

¿Puede alguien ayudarme, por favor? ¿Hay algún ejemplo donde se pueda ver esto?

El anillo $A_K$ : Set $E$ para ser el conjunto de secuencias $(x^{(0)},x^{(1)}, . . . )$ de elementos de $C_p$ satisfaciendo $(x^{(n+1)})^p=x^{(n)}$ con la adición dada por $(x + y)^{(n)} = \lim_m (x^{(n+m)} + y^{(n+m)})^{p^m}$ y $(xy)^{(n)} = x^{(n)}y^{(n)}$ . Entonces $E$ es un campo completo, algebraicamente cerrado, de característica $p$ . Fijar un sistema compatible de raíces de la unidad $(\zeta_p^m),\forall m\in\mathbb N$ donde $(\zeta_p^{m+1})^p= \zeta_p^m$ y escribir $K_n=K(\zeta_p^n)$ . Establecemos $\epsilon=(1,\zeta_p,\zeta_p^2,...)$ y denotar por $E_{\mathbb Q_p}$ el subcampo de $E$ dado por $F_p((\epsilon 1))$ . Escribimos $E_s$ para su cierre separable y observe que $E$ es la terminación del cierre algebraico. Escribimos $E_K=E^{H_K}$ para el subcampo de $E$ arreglado por $H_K=\ker\chi^{cyclo}$ .

Tomamos $A=W(E)$ el anillo de vectores de Witt sobre $E$ y $B=A[1/p]=Frac(A)$ . Se trata de un campo de valoración discreto completo con campo de residuos $E$ . Podemos escribir $x\in A$ como $\sum_{k=0}^\infty p^k[x_k]$ donde $x_k\in E$ y $[\cdot]$ es el ascensor de Teichmüller.

Escribimos $\pi=[\epsilon]1$ y $A_{\mathbb Q_p}$ para el cierre de $\mathbb Z_p[\pi,\pi^{1}]$ en $A$ ; es un anillo de valoración discreto completo con campo de residuos $E_{\mathbb Q_p}$ . Escribimos $B_{\mathbb Q_p}=Frac(A_{\mathbb Q_p})=A_{\mathbb Q_p}[1/p]$ . Tenemos acciones de $\varphi$ y $G$ en $B$ dado por $\varphi(\pi)=(1 + \pi)^p1$ y $g(\pi)=(1+\pi)^{\chi^{cyclo}(g)}1$ .

Escribimos $B_c$ para el cierre de la extensión máxima no ramificada de $B_{\mathbb Q_p}$ en $B$ y $A_c=B\cap A$ tal que $A_c[1/p]=B$ Tenemos $B_K=B^{H_K}$ y $A_K=A^{H_K}$ . Observamos que $$ B_K=\{\sum_{n \in\mathbb Z} a_n \pi_K^n : a_n \in F, \lim_{n \rightarrow -\infty} a_n=0\}$$

donde $\pi_K$ es $e-$ raíz de $\pi$ y un uniformizador de $B_K$ . También tenemos

$$ A_K=\{\sum_{n \in\mathbb Z} a_n \pi_K^n \in B_K : a_n \in\mathcal O_F, \forall n\in\mathbb Z\}$$

Answer 1

Después de aclarar la terminología en los comentarios, creo que esto es lo que pasa aquí:

Dejemos que $F$ sea un campo local con anillo de enteros $O_F$ cuyo ideal máximo es $(p)$ y campo de residuos $k := O_F/(p)$ . Sea $A$ sea el conjunto de las series de Laurent

$\displaystyle \sum_{i\in \Bbb Z} a_i \pi^i: a_i \in O_F$ tal que $\lim_{i\to -\infty} a_i=0$

(es decir, la serie puede ser infinita en ambos lados, pero a la izquierda, los coeficientes van a $0$ ). Entonces se puede demostrar que $A$ es un DVR completo con ideal máximo $(p)$ cuyo campo de residuos $A/p$ (eso es $E_K$ en su pregunta) es de la forma $k((t))$ (serie de Laurent habitual, con parte negativa finita, sobre el campo $k$ ). Obsérvese que $k((t))$ es a su vez un campo completo con una valoración discreta, cuyo anillo de enteros es $k[[t]]$ (serie de potencias sobre $k$ ). Los uniformismos de esto son precisamente los elementos de la forma $\bar a_1 t + \sum_{i\ge 2}\bar a_i t^i$ , donde $\bar a_i \in k$ y $\bar a_1 \neq 0$ .

A continuación, dejemos que $\varpi \in A$ sea cualquier elevación de cualquier uniformisador de este tipo. Es de la forma

$\varpi = \displaystyle \sum_{i\in \Bbb Z} a_i \pi^i$ con $a_i \in (p)$ para $i\le 0$ y $a_1\in O_F^*$

(un caso especial es $\varpi = \pi$ mismo).

Reclamación : Cada elemento de $A$ también puede escribirse de forma única en la forma $$\displaystyle \sum_{i\in \Bbb Z} b_i \varpi^i: b_i \in O_F \text{ such that } \lim_{i\to -\infty} b_i=0.$$

Ahora en el artículo definen las funciones $l_\nu: A \rightarrow \Bbb Z$ por

$l_\nu(\sum_{i\in \Bbb Z} a_i \pi^i) := \min\lbrace i: p^\nu \text{does not divide } a_i\rbrace$ .

pero también se podría definir, para cada $\varpi$ la variante

$l_{\nu, \varpi}(\sum_{i\in \Bbb Z} b_i \varpi^i) :=\min\lbrace i: p^\nu \text{does not divide } b_i\rbrace$

(para que $l_\nu$ es la elección $l_{\nu, \pi}$ ).

Ahora:

• Para $\nu \ge 2$ en los ejemplos $\varpi = p^{\nu-1} + \pi$ tenemos $l_\nu(\varpi) = 0$ pero $l_{\nu, \varpi}(\varpi) = 1$ .

• Para $\nu=1$ Sin embargo, un poco de consideración muestra que ambos $l_{\nu}$ y $l_{\nu, \varpi}$ en realidad puede describirse como

$l_\nu(a)= l_{\nu, \varpi}(a) = \text{ the } t-\text{adic valuation of } \bar a \in A/(p) = k((t))$

que no depende de la elección de $\varpi$ .