Problemas para entender cómo se aplica el principio de transferencia para el teorema del valor extremo.

Question

Estoy leyendo Keisler Elemental de Cálculo (que se puede descargar aquí). Estoy teniendo problemas para entender su prueba de croquis de Extrema Teorema del Valor y cómo se está aplicando la Transferencia de Principio.

Para referencia, se define la "Transferencia de Principio" como:

Cada declaración real que tiene para una o más funciones tiene para la verdadera extensión natural de estas funciones.

En la página 164 (utilizando esquina izquierda de numeración) de el libro que le proporciona la siguiente "sketch":

Entiendo que el contador de ejemplos y soy capaz de entender los problemas con ellos el uso de herramientas estándar. No entiendo, sin embargo, cómo se puede utilizar inmediatamente la Transferencia de Principio. No es inmediatamente obvio para mí que "hay una partición punto de $a + K\delta$ a que $f(a + K\delta)$ tiene el valor más grande."

Elaborar, la prueba parece circular. En el intento de "ampliar" el boceto para ser más precisos. Terminé de escribir en lugar de:

Por la Transferencia de Principio, no es una partición punto de $a + K\delta$ a que $f(a + K\delta)$ tiene el valor más grande.

A:

La aplicación de la Transferencia de Principio hasta el Extremo Teorema del Valor vemos que el Valor Extremo tiene para hyperreals así. Por lo tanto, hay una partición punto de $a + K\delta$ a que $f(a + K\delta)$ tiene el valor más grande.

Pero esto se basa en una prueba de la Extrema Teorema del Valor de reales.

Espero que lo que estoy diciendo tiene sentido, por favor, pregunte para cualquier aclaración.

Answer 1

Para mí, el problema aquí es que la declaración de Keisler da de la transferencia de principio no encaja con la forma en que está siendo utilizado. Es posible que desee buscar en un sistema más formal de fuente para aclarar exactamente lo que dice la transferencia de (intentar Goldblatt, o https://en.wikipedia.org/wiki/Transfer_principle y las referencias que se citan).

Aquí transferencia se aplica a la declaración de la "si $n$ es un número natural y $s_1,\ldots, s_n$ son reales, a continuación, $\{s_1,\ldots,s_n\}$ tiene un máximo." Transferencia (en su forma completa - no necesariamente en la forma en que Keisler unidos) nos dice que esto se aplica para $n \in \mathbb{N}^*$ , que es exactamente lo que se necesita en la prueba.

Esto puede parecer confuso si usted piensa que no estándar de números naturales como "infinitamente grande", porque no es cierto que un subconjunto infinito de $\mathbb{R}^*$ tiene que ser acotada. Esta solicitud de transferencia nos dice sólo que si $\nu$ es cualquier número natural, incluso un no estándar de uno, entonces cada secuencia $s_1,\ldots, s_\nu$ está acotada.

Es útil para trabajar a través de un ejemplo de un discontinuo sin límites de la función en un intervalo compacto, para ver por qué Keisler el argumento de no aplicar a eso. Tomemos $f(0)=0$ e $f(x)=1/x$ para $x>0$, por lo que $f: [0,1] \to \mathbb{R}$ es ilimitado. Podemos empezar por escoger una partición de $[0,1]$ con puntos espaciados $0,1/H,2/H,\ldots, (H-1)/H, 1$, donde $H$ es un "infinitamente grande" número natural. Existe de hecho una partición punto en el que $f$ es máxima, es decir, $f(1/H)=H$. La norma parte de la $1/H$, que se llama $c$ en Keisler, es 0. Pero usted no puede conseguir cualquier relación entre $f(c)$ e $f(1/H)$, incluso a pesar de $c$ e $1/H$ son infinitamente cerca, porque $f$ no es continua en 0. Esto significa que el argumento se rompe, como debe ser.

Answer 2

Permítanme proponer una interpretación diferente de la transferencia (en la formulación sugerida por m_t_) por el Teorema del Valor Intermedio.

Considere la siguiente "norma" argumento sobre ordinario números reales. Para todos los $n \in \mathbb{N}$, es posible partición de $[a,b]$ a $a, a+\frac{b}{n}, \ldots, a+n\frac{b}{n}=b$. Puesto que hay un número finito de partición de puntos (se $n+1$), está bien definido por el máximo entre los valores de $f(a), f\left(a+\frac{b}{n}\right), \ldots, f(b)$.

Recordemos que, por transferencia, finito e $^\ast$finito de conjuntos de satisfacer las mismas propiedades. Como consecuencia, siempre puedes coger el mayor elemento de un $^\ast$conjunto finito. Por lo tanto, la transferencia implica también que para todos los $n \in\ \! ^\ast\mathbb{N}$ el número de $$\max\left\{ f(a), f\left(a+\frac{b}{n}\right) , \ldots, f\left(a+n\frac{b}{n}\right)=f(b) \right\}$$ es bien definidos para cada partición de $^\ast[a,b]$ a $n$ a partes iguales. En otras palabras, usted está demostrando la Extrema Teorema del Valor por la aplicación de la transferencia de la declaración "cada conjunto finito tiene un máximo de elemento", y no a la Extrema Teorema del Valor de los números reales.

Vamos ahora a$n \in\ \! ^\ast\mathbb{N}$ ser infinito, y vamos a $$f\left(a+K\frac{b}{n}\right) = \max\left\{ f(a), f\left(a+\frac{b}{n}\right) , \ldots, f\left(a+n\frac{b}{n}\right)=f(b) \right\}.$$ (What I call $\frac{b}{n}$ is the infinitesimal $\delta$ en el original de la prueba por Keisler). Definir $c=\ \!^\circ\left(a+K\frac{b}{n}\right)$. Por la continuidad de $f$ tiene que $^\circ\left(^\ast f\left(a+K\frac{b}{n}\right) \right) = f(c)$. De aquí en adelante, es posible seguir el original de la prueba por Keisler.