Demostrar que .

Question

Demostrar que $P(A \cap B ) \geq 1 - P(\bar{A}) - P(\bar{B})$

Esto es lo que obtuve:

Así que sé que $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Reorganización de $P(A \cap B)$

$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$

Sustituto $P(A) = 1-P(\bar{A})$ e $P(B) = 1-P(\bar{B})$

$P(A \cap B) = 1 - P(\bar{A}) - P(\bar{B}) + 1 - P(A \cup B)$

Sustituto $P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$

$P(A \cap B) = 1 - P(\bar{A}) - P(\bar{B}) + P(\overline{A \cup B})$

Por lo $P(A \cap B) \geq 1 - P(\bar{A}) - P(\bar{B}) \enspace\enspace\enspace \text{ Since } P(\overline{A \cup B})\leq 1$

No estoy seguro de si mi prueba es correcta o no y quería preguntar por algunos de verificación y corrección si estoy equivocado.

Lo siento si la estructura es desordenada, no estoy tan familiarizado con el látex.

Answer 1

Sí! Es una prueba válida, salvo que la última línea debe leer "$\text{since} \ P(\overline{A \cup B}) \geq 0$" debido a $A = B + C$ implica $A \geq B$ sólo si $C \geq 0$.

Sin embargo, su prueba es más compleja de lo que debe ser. Podemos llegar más rápido a partir de una versión de uno de los términos que se introducen más tarde:

$$P(A \cap B) = 1 - P(\overline{A \cap B}).$$

Podemos utilizar el subyacente de la lógica Booleana para tomar un atajo. Por De Morgan de la ley,

$$\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B},$$

y por lo tanto

$$P(\overline{A \cap B}) = P(\bar{A} \cup \bar{B}).$$

También sabemos que

$$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(\bar{A}) + P(\bar{B}) - P(\bar{A} \cap \bar{B}).$$

Todo lo que queda es la cadena de estos juntos, negando donde sea necesario:

$$P(A \cap B) = 1 - P(\bar{A}) - P(\bar{B}) + P(\bar{A} \cap \bar{B}).$$

Desde el último término de arriba es una probabilidad, sabemos que debe ser mayor o igual a cero, y el resultado deseado inmediatamente a continuación.