¿Cómo hace la prueba de Bell ' s teorema falla si quita la asunción de la localidad?

Question

En este documento Bell deriva su famosa desigualdad mediante la assumtions de la localidad y el realismo. Con el fin de entender cómo la localidad supuesto afecta a la derivación de la desigualdad, y por qué es necesario para que la igualdad, he intentado volver a derivar la desigualdad, primero asumiendo la localidad y, a continuación, en un segundo momento, asumiendo nonlocality, para ver cuál es la diferencia. Sin embargo, mi derivaciones parecen decir que no hay ninguna diferencia, lo que implica que nonlocality no se puede concluir a partir de una Campana de la prueba, lo que está mal (o algunos otros, más inteligentes, matemático habría señalado, por ahora). Donde estoy haciendo mi error(s)? Nota: sé que hay otros similares preguntas sobre nonlocality en el CHSH la desigualdad. He leído y yo no ver su aplicación a este (el original) en forma de Campana de la desigualdad (que utilizan diferentes formalismo matemático y de expresión que no me aparezca en la Campana original de derivación).

El sistema es un par de enredados partículas. Deje $A = \pm 1$ ser el resultado de Alicia, la medición de una partícula de espín, y deje $B = \pm 1$ ser el resultado de Bob medida de la de los demás. Deje $\mathbf{\alpha}$ e $\mathbf{\beta}$ ser la unidad de vectores que representan a Alice y Bob de las mediciones de las direcciones respectivamente. Deje $\lambda$ representan un conjunto de cualquier número de variables ocultas y $\rho = \rho(\lambda)$ la normalizado de distribución de probabilidad de $\lambda$.

Como lo que yo puedo decir, la localidad, en el supuesto de cantidades de asumir que $A = A(\mathbf{\alpha}, \lambda) \neq A(\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}, \lambda)$, o que $A$ es independiente de $\mathbf{\beta}$, e igualmente para $B$ e $\mathbf{\alpha}$ (este puede ser mi error si es que hay más que esto).

Local de derivación: $A(\mathbf{\alpha}, \lambda) = \pm 1$, $B(\mathbf{\beta}, \lambda) = \pm 1$. La expectativa de valor de $AB$ es

\begin{equation} P(\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}) = \int \rho A(\mathbf{\alpha}, \lambda) B(\mathbf{\beta}, \lambda)\, d \lambda. \end{equation}

Para una medida dada en dirección a $\mathbf{a}$,

\begin{equation} P(\mathbf{a}, \mathbf{a}) = \int \rho A(\mathbf{a}, \lambda) B(\mathbf{a}, \lambda)\, d \lambda = -1 \implies A(\mathbf{a}, \lambda) = -B(\mathbf{a}, \lambda). \end{equation}

$P(\mathbf{a}, \mathbf{a}) = -1$ implica que las partículas son anticorrelated, y así, mediante la reescritura de la expectativa de valor de $A B$ como

\begin{equation} P(\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}) = -\int \rho A(\mathbf{\alpha}, \lambda) A(\mathbf{\beta}, \lambda)\, d \lambda \tag{1} \end{equation}

(en otras palabras, asumiendo $A(\mathbf{\alpha}, \lambda) = -B(\mathbf{\beta}, \lambda)$ es siempre válida) nos matemáticamente representan el supuesto de que el estado de nuestro sistema de partículas está restringido a un máximo de anticorrelated estado ($| \Psi^\pm \rangle$). El uso de esta última expresión, obtenemos (para algunos vectores unitarios $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, e $\mathbf{c}$)

\begin{align} P(\mathbf{a}, \mathbf{b}) - P(\mathbf{a}, \mathbf{c}) =& -\int \rho \Big( A(\mathbf{a}, \lambda)A(\mathbf{b}, \lambda) - A(\mathbf{a}, \lambda) A(\mathbf{c}, \lambda) \Big) d\lambda \\ =& -\int \rho A(\mathbf{a}, \lambda)A(\mathbf{b}, \lambda) \Big( 1 - \frac{A(\mathbf{a}, \lambda) A(\mathbf{c}, \lambda)}{A(\mathbf{a}, \lambda)A(\mathbf{b}, \lambda)} \Big) d\lambda \\ =& \int \rho A(\mathbf{a}, \lambda)A(\mathbf{b}, \lambda) \Big( A(\mathbf{b}, \lambda) A(\mathbf{c}, \lambda) - 1 \Big) d\lambda, \end{align}

\begin{equation} |P(\mathbf{a}, \mathbf{b}) - P(\mathbf{a}, \mathbf{c})| \leq \int \rho \Big( 1 - A(\mathbf{b}, \lambda)A(\mathbf{c}, \lambda) \Big) d\lambda = 1 - P(\mathbf{b}, \mathbf{c}), \end{equation}

\begin{equation} |P(\mathbf{a}, \mathbf{b}) - P(\mathbf{a}, \mathbf{c})| + P(\mathbf{b}, \mathbf{c}) \leq 1. \end{equation}

No locales derivación: $A(\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}, \lambda) = \pm 1$, $B(\mathbf{\beta}, \mathbf{\alpha}, \lambda) = \pm 1$. La expectativa de valor de $AB$ es

\begin{equation} P(\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}) = \int \rho A(\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}, \lambda) B(\mathbf{\beta}, \mathbf{\alpha}, \lambda)\, d\lambda. \end{equation} \begin{equation} P(\mathbf{a}, \mathbf{a}) = \int \rho A(\mathbf{a}, \mathbf{a}, \lambda) B(\mathbf{a}, \mathbf{a}, \lambda)\, d\lambda = -1 \implies A(\mathbf{a}, \mathbf{a}, \lambda) = -B(\mathbf{a}, \mathbf{a}, \lambda), \end{equation} \begin{equation} P(\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}) = -\int \rho A(\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}, \lambda) A(\mathbf{\beta}, \mathbf{\alpha}, \lambda)\, d\lambda, \tag{2} \end{equation} \begin{align} P(\mathbf{a}, \mathbf{b}) - P(\mathbf{a}, \mathbf{c}) =& -\int \rho \Big( A(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \lambda) A(\mathbf{b}, \mathbf{a}, \lambda) - A(\mathbf{a}, \mathbf{c}, \lambda) A(\mathbf{c}, \mathbf{a}, \lambda) \Big) d\lambda \\ =& -\int \rho A(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \lambda) A(\mathbf{b}, \mathbf{a}, \lambda) \Big( 1 - \frac{A(\mathbf{a}, \mathbf{c}, \lambda) A(\mathbf{c}, \mathbf{a}, \lambda)}{A(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \lambda) A(\mathbf{b}, \mathbf{a}, \lambda)} \Big) d\lambda, \end{align} \begin{equation} |P(\mathbf{a}, \mathbf{b}) - P(\mathbf{a}, \mathbf{c})| \leq 1 - \int \rho \big( A(\mathbf{a}, \mathbf{c}, \lambda) A(\mathbf{c}, \mathbf{a}, \lambda) A(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \lambda) A(\mathbf{b}, \mathbf{a}, \lambda) \big) d\lambda, \end{equation} \begin{equation} |P(\mathbf{a}, \mathbf{b}) - P(\mathbf{a}, \mathbf{c})| + \int \rho \big( A(\mathbf{a}, \mathbf{c}, \lambda) A(\mathbf{c}, \mathbf{a}, \lambda) A(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \lambda) A(\mathbf{b}, \mathbf{a}, \lambda) \big) d\lambda \leq 1. \end{equation}

Pregunta: Mi resultado es de la misma forma que el de Bell, pero no puedo simplificar el tercer término de la izquierda a $P(\mathbf{b}, \mathbf{c})$, por lo que el tercer término conserva su no local de la dependencia en $A$'s segundo argumento. A pesar de ello, $\int \rho \big( A(\mathbf{a}, \mathbf{c}, \lambda) A(\mathbf{c}, \mathbf{a}, \lambda) A(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \lambda) A(\mathbf{b}, \mathbf{a}, \lambda) \big) d\lambda$ e $P(\mathbf{b}, \mathbf{c})$ se restringe al intervalo $-1 \leq x \leq 1$, por lo tanto las desigualdades debe conducir a la misma conclusión experimental con respecto local realismo. Entonces, ¿qué diferencia hace la localidad asunción hacer? Qué suposición estoy tergiversando? O ¿qué equivocación estoy haciendo?

Answer 1

En mi derivación, yo hago de mi error en la ecuación de $(2)$, el intento de extender la lógica empleada por Bell en llegar a la ecuación de $(1)$.

Bell local de derivación se utiliza el supuesto de que el sistema que se observa es en un anticorrelated estado para obtener la igualdad de

\begin{equation} A(\mathbf{a}, \lambda) = -B(\mathbf{a}, \lambda), \end{equation}

en que $\mathbf{a}$ representa una opción de ángulo de medición. Sin embargo, no hay ninguna dependencia de otro ángulo $\mathbf{b}$ en la de arriba, y así no es tan general como la escritura de la igualdad

\begin{equation} A(\mathbf{\beta}, \lambda) = -B(\mathbf{\beta}, \lambda). \end{equation}

Esto nos permite obtener la expresión de $(1)$:

\begin{equation} P(\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}) = -\int \rho A(\mathbf{\alpha}, \lambda) A(\mathbf{\beta}, \lambda)\, d\lambda. \end{equation}

En los no locales derivación, sin embargo, $A = A(\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}, \lambda)$ e $B = B(\mathbf{\beta}, \mathbf{\alpha}, \lambda)$ tienen no local de la dependencia en dos ángulos, no sólo uno. La asunción de que el estado singlete nos da

\begin{equation} A(\mathbf{a}, \mathbf{a}, \lambda) = -B(\mathbf{a}, \mathbf{a}, \lambda). \end{equation}

En la de arriba, $A$ e $B$ son iguales cuando Alice y Bob elegir el mismo ángulo de medición, o cuando $\mathbf{\alpha} = \mathbf{\beta}$, y por lo que la anterior puede ser escrita

\begin{equation} A(\mathbf{\beta}, \mathbf{\beta}, \lambda) = -B(\mathbf{\beta}, \mathbf{\beta}, \lambda) \neq B(\mathbf{\beta}, \mathbf{\alpha}, \lambda). \end{equation}

Es importante tener en cuenta que, debido a $A$ ande $B$ dependen de dos ángulos, la relación anterior sólo es verdadera cuando las dos ángulos son iguales. En la expresión de $P(\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}) = \int \rho A(\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}, \lambda) B(\mathbf{\beta}, \mathbf{\alpha}, \lambda)\, d\lambda$, $-A(\mathbf{\beta}, \mathbf{\beta}, \lambda)$ no puede ser sustituido para obtener la expresión de $(2)$:

\begin{equation} P(\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}) = \int \rho A(\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}, \lambda) B(\mathbf{\beta}, \mathbf{\alpha}, \lambda)\, d\lambda \neq -\int \rho A(\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}, \lambda) A(\mathbf{\beta}, \mathbf{\beta}, \lambda)\, d\lambda. \end{equation}

Esta incapacidad para reescribir $P(\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta})$ para el estado singlete detiene el no locales derivación si se intenta aplicar los mismos pasos de la Campana en su local de la derivación.

Nota: Esto no prueba que otro enfoque podría no representar una Campana de la desigualdad con la asunción de nonlocality, pero demostrando que no era mi propósito.

Answer 2

A pesar de esto, ambos ∫ρ(A(a,c,l)A(c,a,l)A(a,b,l)A(b,a,λ))dλ y P(b,c) se restringe al intervalo -1≤x≤1, por lo tanto las desigualdades debe conducir a la misma conclusión experimental con respecto local realismo.

Esto no siga. El hecho de que la correlación que debe obedecer a $-1<x<1$ es menos restrictivo que el de las desigualdades de Bell. Tan lejos como puedo decirle que no tenía ningún error, la primera derivación es la correlación que un local de teoría debe obedecer, y el segundo tiene un plazo no se puede reducir a $P(b, c)$ lo que le permite violar la desigualdad.

En cualquier caso, me encontré con la Campana original de derivación difícil de seguir hasta que entendí que la desigualdad de otra manera. También abusa de probabilidades condicionales, como señaló E. T. Jaynes (aunque creo que el error no fatal).

Ofrezco la siguiente derivación si usted quiere usarlo para la comprensión de la Campana más claramente en retrospectiva. Considerar tres listas ordenadas contienen elementos $-1$ e $1$.

$$a=\{1,1, -1 ... \}$$ $$b=\{1,-1, 1, ... \}$$ $$c=\{-1,1, 1, ... \}$$

Denota elementos $a_i$, $b_i$ e $c_i$, tenemos:

$$a_ib_i-a_ic_i=a_ib_i-a_ic_i$$ Desde $b_i^2=1$: $$\implies a_ib_i-a_ic_i=a_ib_i(1-b_ic_i)$$ $$\implies |a_ib_i-a_ic_i|=|1-b_ic_i|$$ Desde el RHS nunca es negativo, se puede colocar el valor absoluto: $$\implies |a_ib_i-a_ic_i|=1-b_ic_i$$ Ahora haciendo un resumen de los términos y denota: $$\langle ab\rangle =\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N a_ib_i$$ Y usando el hecho de que: $$\sum_{i=1}^N|A_i|\geq\left|\sum_{i=1}^NA_i\right|$$ Obtenemos: $$|\langle ab\rangle -\langle ac\rangle|\leq 1 - \langle bc \rangle$$

Esta es una identidad. Si te dan ninguna de las tres listas para $a$, $b$, e $c$, esta desigualdad se mantenga siempre.

Sin embargo, puede que te encuentres en la situación peculiar que puede muestra sólo dos de estas listas en un momento y por cualquier elemento $i$. Ahora hay una oportunidad que va a ser violada, pero si asumimos que los tres listas de números que existen en el principio (un.k.una. hipotético mediciones), entonces violaciones sólo puede ocurrir a fluctuaciones estadísticas de la orden de $\sim 1/\sqrt{N}$.

QM viole esta, que al parecer significa que esas tres listas no existen, ni siquiera en principio.

Por supuesto, estas listas también podría no existir para las variables que de alguna manera se comunican el uno con el otro, o si el sistema se sabía de antemano que íbamos a medida y conspiraron en contra de nosotros. En ambos casos, si medimos $a$ e $b$ nosotros no podemos hablar de lo $c$ hubiera sido porque lo medimos desempeña un papel activo en el resultado.

Answer 3

A mí me parece que $A(a,b,\lambda) =\pm 1$ no es la manera correcta de especificar un no-localidad. Si Alice realiza una medición, a continuación, la no-localidad supuesto implica el control remoto $b$-vector es, efectivamente, superpuestos en su ubicación a la hora de su configuración local es $a$. Ya que esto constituiría una superposición de ambos vectores, se debe agregar (y normalizado) para obtener el vector unitario $w$. Evidentemente el mismo argumento habría Bob el uso de $w$. Entonces, si $A(w,\lambda) =\pm 1$, debe ser el caso que $B(w,\lambda) =\mp 1$.

Porque de la no-localidad, ambos observadores están obligados a utilizar la misma medición de la dirección a nivel local con el resultado de que siempre están en lucha contra la correlación de una manera que es incompatible con la noción de una localidad que permita localmente la medición independiente de las direcciones.

De ello se sigue que no hay ningún teorema de Bell a ser en virtud de la no-localidad de la asunción.