¿Cada sistema tiene un poder establecido?

Question

Mientras que la lectura de la probabilidad de espacio en Wikipedia, que había encontrado la habitual fórmula de un triplete, que es ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$.

A mi entender, el medio ${\mathcal {F}}$ es un juego de poder de $\Omega$ el cual será asignado con un valor real probabiilty por $P$.

Si cada conjunto de esta naturaleza tiene el poder establecido, no puede haber ninguna necesidad de la introducción de ${\mathcal {F}}$ supongo que sin embargo, nunca he pensado en un conjunto que no tiene su juego de poder.

Es allí cualquier conjunto que no tiene poder? o si no, lo que significa que cada conjunto tiene su juego de poder, ¿hay alguna razón verosímil que ${\mathcal {F}}$ es introducido en la probabilidad de formulación?

Answer 1

En el estándar de matemáticas, cada conjunto tiene un juego de poder. Este es codificada en el Axioma de juego de Poder. Sin embargo, su confusión se encuentra con la definición de un espacio de probabilidad, y no con la teoría de conjuntos.

El conjunto $\mathcal F$ en un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal F, P)$ no es necesariamente el poder conjunto de $\Omega$. El conjunto $\mathcal F$ es un subconjunto de la potencia de establecer $\mathcal P(\Omega)$. Esta $\mathcal F$ que se requiere para ser un llamado sigma álgebra, que dice que comparte algunas propiedades en común con el completo juego de poder, pero no tiene que ser todo el poder establecido.

En particular, para cualquier $\Omega$, usted puede tomar $\mathcal F = \{\emptyset, \Omega\}$, y este será un sigma álgebra en $\Omega$. A menos $|\Omega| \leq 1$, no va a ser el juego de poder.

Answer 2

Este $\mathcal{F}$ es realmente no el juego de poder, pero una álgebra de la sigma. El poder es una álgebra de la sigma y es de uso frecuente, pero a veces la teoría de la probabilidad requiere subconjuntos más pequeños de la energía ajustado correctamente a fin de definen el problema.

Answer 3

Creo que la notación aquí es debido al hecho de que un espacio de probabilidad es, en particular, de un número finito de medir el espacio. Así, en el sentido más general, el conjunto de $\mathcal{F}$ no necesita ser el juego de poder, es suficiente que el conjunto $\mathcal{F}$ satisfacer los axiomas de una $\sigma$-álgebra de subconjuntos de a $\Omega$. Y sí, cada conjunto tiene un juego de poder, que está garantizada por el poder establecido axioma en la teoría de conjuntos. Si usted está interesado, estudiar algo de teoría de la medida, el cual proporciona las herramientas matemáticas para el desarrollo riguroso de la probabilidad.