Esta es una respuesta parcial. Si $p(x)\in\mathbb{Q}[x]$ es un polinomio de grado al menos $3$ tal que todas las raíces de $p(x)$ (pares distintos) enteros, entonces hay dos casos:
- si una de las causas de $p(x)$ es un entero positivo, entonces la suma de $\sum_{n=1}^\infty\,\frac{1}{p(n)}$ $\sum_{n=1}^\infty\,\frac{n}{p(n)}$ son ambos indefinidos;
- si cada raíz de $p(x)$ es un entero no negativo, entonces ambos $\sum_{n=1}^\infty\,\frac{1}{p(n)}$ $\sum_{n=1}^\infty\,\frac{n}{p(n)}$ son números racionales.
El primer caso es trivial, así que estoy tratando con el segundo caso. Deje $d\geq 3$ es el grado de $p(x)$. Entonces, existen enteros $k_1,k_2,\ldots,k_d$ y un número racional distinto de cero $r$ tal que $0\leq k_1<k_2<\ldots<k_d$ para los que
$$p(x)=r(x+k_1)(x+k_2)\cdots (x+k_d)\,.$$
De ello se sigue que
$$\frac{1}{p(x)}=\sum_{j=1}^d\,\frac{a_j}{x+k_j}\text{ and }\frac{x}{p(x)}=\sum_{j=1}^d\,\frac{b_j}{x+k_j}$$
para algunos números racionales $a_1,a_2,\ldots,a_d$$b_1,b_2,\ldots,b_d$.
Deje $A_0=0$$B_0=0$. Para $j=1,2,\ldots,d$,
$$A_j=a_1+a_2+\ldots+a_j\in\mathbb{Q}\text{ and }B_j=b_1+b_2+\ldots+b_j\in\mathbb{Q}\,.$$
Puede verse fácilmente que el$A_d=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{p(x)}=0$$B_d=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{p(x)}=0$.
Tenemos
$$\frac{1}{p(x)}=\sum_{j=1}^d\frac{A_j-A_{j-1}}{x+k_j}=\sum_{j=1}^{d-1}A_j\left(\frac{1}{x+k_j}-\frac{1}{x+k_{j+1}}\right)$$
y
$$\frac{x}{p(x)}=\sum_{j=1}^d\frac{B_j-B_{j-1}}{x+k_j}=\sum_{j=1}^{d-1}B_j\left(\frac{1}{x+k_j}-\frac{1}{x+k_{j+1}}\right).$$
Es decir,
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{p(n)}=\sum_{j=1}^{d-1}A_j\sum_{i=k_j+1}^{k_{j+1}}\frac{1}{i}\in\mathbb{Q}$$
y
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{p(n)}=\sum_{j=1}^{d-1}B_j\sum_{i=k_j+1}^{k_{j+1}}\frac{1}{i}\in\mathbb{Q}.$$
Ejemplo: Vamos a $d=3$$(k_1,k_2,k_3)=\left(0,3,7\right)$. A continuación, $(a_1,a_2,a_3)=\left(\frac1{21},-\frac1{12},\frac1{28}\right)$$(b_1,b_2,b_3)=\left(0,\frac14,-\frac1{4}\right)$. Por lo tanto, $(A_1,A_2)=\left(\frac1{21},-\frac1{28}\right)$$(B_1,B_2)=\left(0,\frac1{4}\right)$. A continuación, obtener
\begin{align}\sum_{n=1}^\infty\,\frac{1}{p(n)}&=A_1\left(\frac{1}{k_1+1}+\frac{1}{k_1+2}+\frac{1}{k_1+3}\right)+A_2\left(\frac{1}{k_2+1}+\frac{1}{k_2+2}+\frac{1}{k_2+3}+\frac{1}{k_2+4}\right)\\&=\frac1{21}\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac13\right)-\frac1{28}\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac17\right)=\frac{2123}{35280}\end{align}
y
\begin{align}\sum_{n=1}^\infty\,\frac{n}{p(n)}&=B_1\left(\frac{1}{k_1+1}+\frac{1}{k_1+2}+\frac1{k_1+3}\right)+B_2\left(\frac{1}{k_2+1}+\frac{1}{k_2+2}+\frac{1}{k_2+3}+\frac1{k_2+4}\right)\\&=0\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac13\right)+\frac1{4}\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac17\right)=\frac{319}{1680}.\end{align}
Nota: Si $k_1,k_2,\ldots,k_d$ son todos no integral racional, no necesariamente positivo, números de tal manera que $k_i-k_j\in\mathbb{Z}$ para cada par $i,j=1,2,\ldots,d$, entonces la misma prueba en obras. Es decir, tanto en $\sum_{n=1}^\infty\frac1{p(n)}$ $\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{p(n)}$ son números racionales.
Ejemplo: Vamos a $d=3$$(k_1,k_2,k_3)=\left(-\frac12,\frac32,\frac92\right)$. A continuación, $(a_1,a_2,a_3)=\left(\frac1{10},-\frac16,\frac1{15}\right)$$(b_1,b_2,b_3)=\left(\frac1{20},\frac14,-\frac3{10}\right)$. Por lo tanto, $(A_1,A_2)=\left(\frac1{10},-\frac1{15}\right)$$(B_1,B_2)=\left(\frac1{20},\frac3{10}\right)$. A continuación, obtener
\begin{align}\sum_{n=1}^\infty\,\frac{1}{p(n)}&=A_1\left(\frac{1}{k_1+1}+\frac{1}{k_1+2}\right)+A_2\left(\frac{1}{k_2+1}+\frac{1}{k_2+2}+\frac{1}{k_2+3}\right)\\&=\frac{1}{10}\left(\frac{1}{1/2}+\frac{1}{3/2}\right)-\frac1{15}\left(\frac{1}{5/2}+\frac{1}{7/2}+\frac{1}{9/2}\right)=\frac{974}{4725}\end{align}
y
\begin{align}\sum_{n=1}^\infty\,\frac{n}{p(n)}&=B_1\left(\frac{1}{k_1+1}+\frac{1}{k_1+2}\right)+B_2\left(\frac{1}{k_2+1}+\frac{1}{k_2+2}+\frac{1}{k_2+3}\right)\\&=\frac{1}{20}\left(\frac{1}{1/2}+\frac{1}{3/2}\right)+\frac3{10}\left(\frac{1}{5/2}+\frac{1}{7/2}+\frac{1}{9/2}\right)=\frac{71}{175}.\end{align}
