¿Puede haber una serie de poder que converja para todos los reales pero no para los números complejos?

Question

Deje $z = x + i y$, y considere la siguiente función:

$$ f(z) = e^{\frac{1}{1 + z^2}} \qquad z \in \mathbb{C} $$

Tenga en cuenta que en $z = \pm i$ la función no convergen. Vemos que en $\mathbb{R}$ al $y = 0$, esto se convierte en:

$$ f(x) = e^{\frac{1}{1 + x^2}} \qquad x \in \mathbb{R}, $$

que converge muy bien para todos los valores de $x \in \mathbb{R}$. Además, esta función es analítica en $\mathbb{R}$, y de modo que existe una cierta energía de la serie de la forma:

$$ f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n \qquad a_n, x, x_0 \in \mathbb{R} $$

que converge para todos los $x \in \mathbb{R}$. ¿Este poder de la serie, naturalmente, ampliar el plano complejo si tenemos $x \mapsto z$, es decir:

$$ f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} b_n (z - z_0)^n \qquad z \in \mathbb{C}, \quad z_0 = x_0 + i0, \quad b_n = a_n + i 0 $$

En este caso, sería la función que se muestra más arriba demuestran que un complejo con valores de potencia de la serie que converge en todos los de $\mathbb{R}$ no necesariamente convergen en $\mathbb{C}$?

Answer 1

No. Si una serie de potencias converge en todos$\mathbb{R}$, su (s) extensión converge para todos los números complejos. Una manera rápida de ver por qué esto es válido es considerar la fórmula para el radio de convergencia y recordar que uno demuestra una convergencia absoluta con él, manteniendo así para$\mathbb{C}$ también.

Answer 2

No. Es posible que haya escuchado antes el término "radio de convergencia"; en este caso, eso no es un abuso de lenguaje. Las series de potencias convergen dentro de los discos abiertos en el plano complejo, y el radio de convergencia es la distancia a la singularidad más cercana. En este caso, dado que necesita que su serie converja en$\mathbb{R}$, el radio de convergencia debería ser$\infty$, de modo que la serie convergería en$\mathbb{C}$%

Answer 3

El error fundamental en su análisis de este (pero vea @AloizioMacedo del comentario):

Vemos que en $\mathbb{R}$ al $y = 0$, esto se convierte en:

$$ f(x) = e^{\frac{1}{1 + x^2}} \qquad x \in \mathbb{R}, $$

que converge muy bien para todos los valores de $x \in \mathbb{R}$.

El problema es que la función que has escrito no puede "convergen" porque no es una serie.

No es una potencia de la serie para $e^x$, y hay uno para $\frac{1}{1+x^2}$. Pero el último de la serie sólo converge para $x^2 < 1$, por lo que no hay en todas partes convergente de alimentación de la serie para que la función de los reales (o al menos "la evidente y no es en todas partes convergente").

Answer 4

Es fácil probar que si una potencia de la serie converge para algunos $z_1\ne 0$, entonces converge absolutamente para cada complejo de $z$$|z|<|z_1|$:

En orden para que el poder de la serie a converger a $z_1$, la secuencia de $|a_nz_1^n|$ debe ir a $0$ -- en particular debe ser delimitada por algún número $K$. Entonces tenemos que $$ |a_nz^n| = \left| \frac{z}{z_1} \right|^n \cdot |a_nz_1^n| \le K\left|\frac{z}{z_1} \right|^n $$ por tanto, los términos de la potencia de la serie en $z$ están delimitadas por una sucesión geométrica con el común factor $\left|\frac{z}{z_1}\right|$ que se supone $<1$. Esto obliga a que las sumas parciales de la alimentación de la serie en $z$ a ser una secuencia de Cauchy, y por lo tanto converge.

En particular, podemos dejar que $z_1$ ser real, por lo que si una potencia de la serie converge para todos los reales, necesariamente también convergen en todos los de $\mathbb C$.