Deje $\mathsf{Set}(G)$ denota el conjunto de clases de isomorfismo de finito $G$-conjuntos. Se extendió el mapa
$$\mathsf{Set}(G)\times\mathsf{Set}(H)\ \longrightarrow\mathsf{Set}(G\times H) \tag{1}$$
para un anillo homomorphism
$$ ~~~ B(G)\otimes B(H)\longrightarrow B(G\times H). \tag{2}$$
Usted parece estar proponiendo que es una inversa de a $(1)$,
$$ \mathsf{Set}(G)\times\mathsf{Set}(H)\longleftarrow\mathsf{Set}(G\times H) \tag{a} $$
que se puede extender a una inversa de a $(2)$,
$$ ~~~ B(G)\otimes B(H)\longleftarrow B(G\times H). \tag{b}$$
Su propuesta de mapa de $(\textrm a)$ no puede ser una inversa de a $(1)$ debido a que el mapa de $(1)$ conserva cardinalidad, pero el mapa de $(\textrm a)$ no. De hecho, $(1)$ no tiene una relación inversa debido a que no es uno-a-uno. Por ejemplo, dada cualquier trivial $G\times H$-establecer $Z$ si $|X\times Y|=|Z|$ e interpretamos $X$ $Y$ tan trivial $G$- $H$- respectivamente, entonces la tupla $([X],[Y])$ obtiene asignada a $[Z]$. Todas estas tuplas corresponden a $|X|\cdot|Y|$ los tiempos de la identidad en el ring $B(G)\otimes B(H)$.
Que el anillo homomorphism es un isomorfismo puede ser traducido en puramente $G\times H$-ajuste de la teoría de la lengua, aunque. Es lógicamente equivalente a (ejercicio) a la declaración de
La proposición. Cada $G\times H$-establecer $Z$ única es expresable como la suma de "factorizable" órbitas,
$$ Z\cong \bigsqcup_{i=1}^r X_i\times Y_i, $$
es decir, donde $X_1,\cdots,X_r$ $G$de las órbitas y $Y_1,\cdots,Y_r$ $H$de las órbitas.
(Nonuniqueness se produce cuando se omite la condición de que el $X_i$s y $Y_i$s llevar transitiva de acciones).
La prueba de la unicidad. Cada $G\times H$-establecer $Z$ es la única que se puede expresar como un discontinuo de la unión de las órbitas $Z_1\sqcup\cdots\sqcup Z_r$. "Factorizable" conjuntos de $X_i\times Y_i$ $X_i$ $G$- órbita y $Y_i$ $H$- órbita son en sí mismos $G\times H$de las órbitas. Por el contrario, suponiendo que todos los $G\times H$-órbita es factorizable, necesitamos ver las órbitas de factor de forma exclusiva, es decir, que podemos recuperar la $G$-establecer $X_i$ $H$- establecer $Y_i$ de la $G\times H$-establecer $X_i\times Y_i$, hasta isomorfismo. Pero podemos hacer eso, ya que son sólo la órbita de los espacios de $X_i\cong (X_i\times Y_i)/H$ $G$- $Y_i\cong (X_i\times Y_i)/G$ $H$- set.
La prueba de la existencia. Queremos que cualquier $G\times H$-órbita $Z_i$ a, el factor de $X_i\times Y_i$. Cualquier $G\times H$-órbita es un coset espacio de $(G\times H)/S$ (hasta el isomorfismo) donde $S\le G\times H$ es un subgrupo. Aquí es donde la coprimality de $G$ $H$ entra en juego:
Lema. Si $|G|$ $|H|$ son primos relativos, entonces cualquier subgrupo $S\le G\times H$ es en sí mismo un producto directo de los subgrupos, $S=J\times K$ con $J\le G$, $K\le H$.
(la prueba. Proyecto $S$ a $G$ $H$ y llamar a las imágenes $J$$K$. Sabemos $|J|$ $|K|$ son divisores de $|S|$, pero desde $|J|,|K|$ son coprime también podemos decir $|J|\cdot|K|$ es un divisor de a $|S|$. Pero evidentemente $S\le J\times K$$G\times H$, lo $S=J\times K$.)
Por lo tanto, cualquier $G\times H$-órbita, sin pérdida de generalidad un coset espacio de $(G\times H)/S$, puede ser un factor en la forma $(G\times H)/(J\times K)\cong (G/J)\times(H/K)$ $G\times H$- conjuntos, donde $S=J\times K$.
