Teoría de perturbaciones de los autovalores sobre el matirx simétrico

Question

A partir del teorema de Weyl, es decir:
Deje $A$ $E$ $n\times n$ real simétrica de las matrices. Deje $\alpha_1\geq\ldots\geq\alpha_n$ ser los autovalores de a $A$ $\hat{\alpha}_1\geq\ldots\geq\hat{\alpha}_n$ ser los autovalores de a $\hat{A}=A+E$. A continuación, $|\alpha_i-\hat{\alpha}_i|\leq\|E\|_2$,
sabemos que el perturbado valores propios de una matriz simétrica diferencian en la mayoría de $\|E\|_2$ de su tamaño, lo que significa que puede ser calculado en una alta precisión.

Pero aquí tengo la pregunta: ¿y si asumimos $E$ ser un sesgo de simetría de la matriz, es decir: $E^T=-E$? ¿También tenemos $|\alpha_i-\hat{\alpha}_i|\leq c\|E\|_2$, para algunas constantes $c$?

Si es así, podemos concluir que cualquier perturbado de la matriz de a $A$ (no sólo simétrica de perturbación) cambios poco a $A$'s valores propios.

Si no, ¿hay algún ejemplo para demostrar que la $c$ ($O(1)$ orden) no existe?

Answer 1

Desde $A$ es diagonalizable, de acuerdo a las Bauer-Fike teorema, para cualquier autovalor $\lambda$$A$, existe un autovalor $\mu$ $A+E$ tal que $$ |\lambda\mu|\leq\kappa_2(V)\|E\|_2, $$ donde $\kappa_2(V)$ es el espectro de la condición de un autovector de la matriz $V$$A$. Podemos poner $\kappa_2(V)=1$ porque $A$ es simétrica y por lo tanto $V$ puede ser elegido para ser ortogonales. Por lo tanto $$|\lambda-\mu|\leq\|E\|_2.$$ Note that $E$ does not need to be symmetric. If $E$ is skew-symmetric and hence normal, $\|E\|_2$ is equal to the spectral radius of $E$.