¿Por qué ' t, el teorema de aproximación de Weierstrass implica que cada función puede ser escrita como una serie de energía?

Question

Espero que mi pregunta en el título está bien formulada.

Estoy un poco confundido con el siguiente ejercicio de un libro:

Argumentan que no existe funciones de $f \in C[0, \frac{1}{2}]$ que no se puede escribir en la forma $$ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k, x\in(0, \frac{1}{2}). $$

Pero de Weierstrass' teorema de los estados que $||f(x)-P(x)||_{\infty} < \epsilon$ donde $P(x)$ es un polinomio de $x\in[a,b]$.

La declaración de los ejercicios se refiere a un proceso abierto y acotado de intervalo, y en Weierstrass para un cerrado y acotado intervalo para el polinomio. Es esta la clave? para ser honesto, no veo por qué.

Answer 1

Teorema de Weierstrass dice que en un intervalo compacto, dado una función continua es una secuencia de polinomios converge uniformemente a esta función. Pero los polinomios no son necesariamente de la forma $\sum_{j=0}^{N_n}cjx^j$, porque los coeficientes dependen de $n$. De hecho son de la forma $\sum{k=0}^{Nn}c{n,k}x^k$.

Para obtener un ejemplo concreto, considere $\left|x-\frac 12\right|$. Esto no se puede escribir como una serie de energía, ya que esta función sea diferenciable en $1/2$.

Answer 2

pensar acerca de $f(x) = \frac 1x$.

En cualquier intervalo cerrado $[a,b]$ $a>0$ la función es acotada y me puede aproximar muy bien con un polinomio.

Pero en el intervalo abierto $(0,1)$ es ilimitado. La razón por la que puede conseguir lejos con esto es porque no se define en $0$. Cualquier función continua en un intervalo cerrado es acotada. Eso no es cierto en intervalos abiertos.

Es por eso que Weierstrass no puede ayudar a abrir los intervalos. Para la respuesta a la tarea problema voy a referir a Davide Giraudo la respuesta, que ha acaba de aparecer. (Que es mucho más fácil de demostrar que $\frac 1x$ no puede ser escrito como un polinomio.)