Si$u_m \rightharpoonup u$, ¿cómo mostrar usando monotonicidad que$f(u_m) \rightharpoonup f(u)$?

Question

Vamos $$u_m \rightharpoonup u \quad \text{(weakly) in $L^\infty(0,T;L^2(\Omega)) \cap L^2(0,T;H^1(\Omega))$}.$$ We are given $f:\mathbb R \to \mathbb R$, una de Lipschitz continua invertible mapa que es monótona: $$(f(x)-f(y))(x-y) \geq 0\quad\text{for all $x, y$}$$ y satisface $f'> 0$. Supongamos que tenemos $$f(u_m) \rightharpoonup f(v) \quad \text{in $L^2(0,T;H^1(\Omega))$}$$ para algunos $v \in L^2(0,T;H^1(\Omega))$ (supongo que para $u \in L^2(0,T;H^1)$, $f(u)$ y $f^{-1}(u)$$L^2(0,T;H^{1}(\Omega))$.)

Es posible demostrar que, de hecho,$v=u$, es decir,$f(u_m) \rightharpoonup f(u)$? Me parece que no puede hacerlo mediante el uso de la monotonía método.

(A pesar de la publicación de este MO todavía no resolver este problema)

Answer 1

En caso de que la convergencia $u_m\rightharpoonup\,u$ es entendido como una debilidad de la convergencia en $L^2\bigl(0,T;H^1(\Omega)\bigr)$ siendo así de débiles estrellas en $L^{\infty}\bigl(0,T;L^2(\Omega)\bigr)$, la respuesta es definitivamente No. No se puede hacer, porque en general no lineales superposición operador no puede ser débilmente continua. Considere el siguiente contraejemplo. Tomar cualquier función de $f\in C^1(\mathbb{R})$ con uniformemente acotada estrictamente positivos derivados que $f(\xi)=2\xi^2$$[-1,1]$, y deje $u_m(t,x)=\sin{(mt)}\varphi(x)$ con algunos fijos distinto de cero $\varphi\in W^{1,4}(\Omega)$ al $\Omega$ es acotado, o $\varphi\in W^{1,4}(\Omega)\cap H^1(\Omega)$ lo contrario. Está claro que $u_m\rightharpoonup\,0=u$ donde la convergencia se entiende como débil en $L^2\bigl(0,T;H^1(\Omega)\bigr)$ y débiles estrellas en $L^{\infty}\bigl(0,T;L^2(\Omega)\bigr)$, mientras que $$ f(u_m)=\bigl(1-\cos{(2mt)}\bigr)\varphi^2\rightharpoonup\,\varphi^2\no\equiv\,0=f(u) $$ con la convergencia se entiende como débil en $L^2\bigl(0,T;H^1(\Omega)\bigr)$.