Si$M$ y$N$ son variedades riemannianas, ¿podemos relacionar la curvatura seccional del producto Riemannian manifold$M \times N$ con las de$M$ y$N$? Si tanto$M$ como$N$ tienen curvaturas seccionales no negativas (o no positivas), ¿ocurrirá lo mismo con$M \times N$?
Respuesta
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Sí, hay algo que se puede decir.
Indicar la conexión en $(M, g_{1})$ $\tilde{\nabla}$ y deje $X_{1}, \ldots , X_{m}$ ser un ortonormales en el marco de un conjunto abierto $U \subset M$. Asimismo, indicar la conexión en $(N, g_{2})$ $\hat{\nabla}$ y deje $Y_{1}, \ldots, Y_{n}$ denotar un ortonormales en el marco de un conjunto abierto $V \subset N$.
De ello se desprende que la conexión de $\nabla$ sobre el producto colector $M \times N$ satisface
- $\nabla_{X_{i}}X_{j} = \tilde{\nabla}_{X_{i}}{X_{j}}$
- $\nabla_{X_{i}}Y_{j} = \nabla_{Y_{j}}X_{i} = 0$
- $\nabla_{Y_{i}}Y_{j} = \hat{\nabla}_{Y_{i}}Y_{j}$.
Tenga en cuenta que en la anterior de la que estamos canónicamente la identificación de campos vectoriales sobre los factores $M$ $N$ con campos vectoriales en el producto $M \times N$.
Dejar $Z_{i} = X_{i}$, $1 \le i \le m$, y $Z_{i + m} = Y_{i}$, $1 \le i \le n$, indicar la correspondiente ortonormales marco para $M \times N$, se deduce inmediatamente que la curvatura de Riemann operador $R = R_{ijk}^{l}Z_{l}$ $M \times N$ satisface $R_{ijk}^{l} = 0$ si $\left\{i, j, k\right\} \subset \left\{1, 2, \ldots, m\right\}$ o $\left\{i, j, k\right\} \subset \left\{m +1, m + 2, \ldots, m + n\right\}$.
Ahora sigue casi inmediatamente que $M \times N$ no negativo (o positivo) de la sección transversal curvaturas cuando los $M$ $N$ do.
Nota, sin embargo, que si $M$ $N$ ambos tienen con todo positivo transversal de la curvatura con respecto a las métricas $g_1$$g_2$, entonces el producto colector $M \times N$ (equipado con el producto métrica) se han tangente dos aviones de la sección transversal de la curvatura de cero. Por ejemplo, considere el producto colector $S^{2} \times S^{2}$ donde ambos factores de $S^{2}$ tienen la ronda estándar métrica que viene de su natural incrustaciones en el espacio Euclidiano.
