El problema/conjetura de los cuatro corredores

Question

Recientemente he leído aquí el siguiente problema, llamado "problema de los cuatro corredores" :

Supongamos que cuatro corredores (representados por esferas etiquetadas) corren alrededor de una pista circular. Sus velocidades son constantes racionales positivas $v_1<v_2<v_3<v_4$ .

En el momento $0$ Todos los corredores se encuentran juntos en la puerta de salida; poco después, se disponen en el orden $\{1, 2, 3, 4\}$ contando desde la puerta de salida. El orden cambia a $\{4, 1, 2, 3\}$ cuando el corredor 4 pasa por la puerta de salida. Entonces, o bien el corredor 3 pasa por la puerta de salida, el corredor 4 le da la vuelta al corredor 1, o bien los dos eventos ocurren al mismo tiempo, dando posibles órdenes $\{3, 4, 1, 2\}$ , $\{1, 4, 2, 3\}$ o $\{3, 1, 2, 4\}$ . [ ]

La respuesta a esta pregunta es desconocida: ¿qué tipos generan las 24 órdenes posibles?

En el caso de los tres corredores, las seis órdenes se alcanzan si y sólo si los dos ritmos más lentos no suman el ritmo rápido.

Por ejemplo, descubrí que las tasas $0.1 < 0.2 < 0.61 < 0.9$ generar las 24 combinaciones posibles.

Me gustaría saber dónde encontrar más información sobre ese problema. ¿Existen artículos de investigación al respecto? No he encontrado nada, ni siquiera para el caso con 3 corredores (que no me parece obvio).

Gracias de antemano.

Answer 1

(Este es realmente un comentario largo, no es una respuesta que pretenda atraer votos a favor o en contra, aceptación o bonificación - simplemente no es cómodo escribirlo en el formato de comentarios de SE)

El problema se vuelve más simétrico si otorgamos al punto de partida una velocidad $v_0.$ El orden de los corredores cambia siempre que el tiempo $t$ es un múltiplo entero del recíproco de $v_i-v_j$ para algunos $i>j\geq0.$ De hecho, podríamos incluso eliminar la condición $v_0<v_1<\cdots<v_n$ y preguntar bajo qué condiciones en el $v_k$ los corredores tienen garantizado alcanzar al menos una vez el orden definido por los números que llevan en la espalda; la condición $v_i\neq v_j$ para $i\neq j$ entonces se convierte en parte de la respuesta y no en parte del planteamiento del problema, y podríamos reformularlo:

¿Qué medias líneas que parten del origen en $\mathbb R^n$ se cruzan con el $n$ -Conjunto periódico doble definido por la traslación del interior del simplex unitario $0<x_1<\ldots<x_n<1$ a lo largo de la unidad cúbica $n$ -¿reticulado de dimensiones?

Hay $C^n_2$ cantidades interesantes para comparar:

$$\begin{matrix} v_1(-v_0)&v_2(-v_0)&\cdots&v_{n-1}(-v_0)&v_n(-v_0)\\ &v_2-v_1&\cdots&v_{n-1}-v_1&v_n-v_1\\ &&\ddots&&\vdots\\ &&&v_{n-1}-v_{n-2}&v_{n}-v_{n-2}\\ &&&&v_{n}-v_{n-1}\\ \end{matrix}$$

Cualquier igualdad entre dos de estas cantidades -de hecho, cualquier igualdad entre múltiplos enteros de los recíprocos de dos de estas cantidades- podría teóricamente hacer que los corredores completaran una carrera completa sin llegar a un orden determinado, aunque muchas de estas igualdades quedan excluidas si suponemos $v_0<v_1<v_2<\cdots<v_n.$ Por lo tanto, es curioso que para $n=3$ sólo una igualdad, a saber, $v_3-v_2=v_1-v_0$ (o, de forma equivalente, $v_3-v_1=v_2-v_0$ ) impide efectivamente que se alcancen algunas permutaciones - no es un problema si, por ejemplo, $v_2-v_1=v_3-v_2$ lo que significa que los tres corredores se adelantan entre sí siempre en el mismo momento.

En 4 dimensiones tenemos, como condición necesaria, que todo subconjunto formado por 3 corredores (o 4, contando el punto de partida como un corredor) tiene que satisfacer la condición de 3 dimensiones, por lo que sabemos que

$$\eqalign{ v_1+v_2&\neq v_3(+v_0)\\ v_1+v_2&\neq v_4(+v_0)\\ v_1+v_3&\neq v_4(+v_0)\\ v_2+v_3&\neq v_4(+v_0)\\ v_1+v_4&\neq v_2+v_3\\ }$$

Un intento de responder a la pregunta podría ser intentar demostrar que estas cinco condiciones juntas también son suficientes.

Poniendo $v_0=0$ de nuevo y $v_4=1$ (porque el problema es homogéneo en el $v_i$ ) estas cinco condiciones dividen el simplex unitario tridimensional $0\leq v_1\leq v_2\leq v_3\leq 1$ en un número de sub-símbolos (como máximo 32, no he calculado el número exacto) a lo largo de los siguientes límites:

$$\eqalign{ v_1+v_2&= v_3\\ v_1+v_2&= 1\\ v_1+v_3&= 1\\ v_2+v_3&= 1\\ v_1+1&= v_2+v_3\\ }$$

Sugerencia: identificar estos subsímbolos y demostrar para cada subsímbolo por separado que se alcanzan las 24 permutaciones cuando $(v_1,v_2,v_3)$ está en el interior del sub-simplex.