En estos casos siempre es útil dibujar un diagrama:
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El verde de los vectores representan la fuerza de la gravedad $w=mg$ (discontinua) y sus componentes a lo largo del plano inclinado y la perpendicular a ella. Las fuerzas rojas son la fuerza normal del plano sobre el balón $n$, la fuerza de fricción $F$, y su suma de vectores (líneas discontinuas).
Ahora la esfera gira sobre el punto de contacto - que es el punto que no se mueve. En ese marco de referencia, tomando nota de que el rojo vectores, todos pasan por el centro de rotación se calcula el par como la fuerza de gravedad $w$ veces la distancia perpendicular del punto de pivote $d= r\sin\theta$, es decir,$$\Gamma = w\cdot r \sin\theta$$ and we consider the moment of inertia of the ball about this pivot to be $$I = \frac25 mr^2 + mr^2=\frac75 mr^2$$
(por el teorema de los ejes paralelos).
Como usted ha señalado, teniendo en cuenta la moción sobre el punto de contacto, el valor de $F$ no parece entrar en juego. Pero recuerda que el centro de masa de la esfera debe acelerar como si todas las fuerzas que actúan sobre él; después de la cancelación de la normal de fuerzas, que nos deja con $mg\sin\theta$ hacia abajo de la pendiente, y $F$ va para otro lado. La diferencia entre estas dos fuerzas da lugar a la aceleración de la esfera.c.o.m. por lo que podemos calcular $F$ a partir de
$$mg \sin\theta - F = m a$$
Para calcular los $a$, primero necesitamos la aceleración angular $\dot\omega$que se encuentra desde
$$\dot \omega = \frac{\Gamma}{I} = \frac{mgr\sin\theta}{\frac75 m r^2} = \frac{5g\sin\theta}{7r}$$
La aceleración lineal $a$ es, por supuesto, la aceleración angular multiplicado por el radio de la esfera, por lo que
$$a = \frac57 g\sin\theta$$
A partir de la cual se deduce que
$$F = \frac{2}{7} m g \sin \theta$$
Y si sabemos que, ahora podemos calcular la aceleración angular de la esfera alrededor de su centro. El par de torsión visto en el marco de referencia de la esfera es
$$\Gamma' = Fr = \frac{2}{7} m g r \sin\theta$$
Ahora vamos a utilizar el momento de inercia de la esfera alrededor de su centro con el fin de calcular la aceleración angular, y encontrar
$$\dot \omega = \frac{\Gamma'}{\frac25 mr^2} \\
= \frac{\frac{2}{7} m g r \sin\theta}{\frac{2}{5} m r^2}\\
=\frac{5 g \sin\theta}{7 r}$$
que es el mismo resultado que antes.
Así que no hay ninguna contradicción. Las fuerzas de fricción y la gravedad trabajan juntos para causar la rotación de la diferencia en aparente par proviene del hecho de que está trabajando en diferentes (y no inercial) de los marcos de referencia, pero si hacemos el cálculo con cuidado usted obtendrá la misma respuesta.
