Si $\|I+a+\bar{b}\|<1$ $a+b$ es invertible en $C(X)$

Question

Que $a,b\in\ C(X)$, donde $X$ es un espacio de #% compacto %#% y $T_2$.

Entonces es inversible en $|I+a+\bar{b}|

Answer 1

Que $c = a + b$. Para todos los $x$ uno tiene $$(I + a + \bar{b})(x) = 1 + a(x) - \bar{a}(x) + \bar{c}(x) = 1 + 2iIm(a)(x) + \bar{c}(x)$ $ por lo tanto $$ | (I + a + \bar{b}) (x) | \geq | 1 + 2iIm(a)(x) | -| \bar{c}(x) | \geq 1 - | \bar{c}(x) | $$

Desde $||I + a + \bar{b}|| 0$. Así tenemos también que $|(I + a + \bar{b})(x)| \leq 1 - \delta$ % todos $x$. Combinando con lo anterior tenemos $1 - |\bar{c}(x)| \leq 1 - \delta$ o $\delta \leq |\bar{c}(x)|$ % todos $x$. Así $\delta \leq |c(x)|$ $x$como bien de todos % y $c$ es invertible.