¿Cómo mostrar la distributividad en un anillo, y lo que está mal con mi álgebra?

Question

Estoy tratando de mostrar el siguiente es un anillo conmutativo con unidad, sin embargo, me estoy encontrando con un problema.

En primer lugar, la adición y la multiplicación se define como:

$$a \oplus b=a+b-1$$$$un \odot b=ab-(a+b)+2$$

Me han demostrado que este "además" es un grupo abelian. La identidad es $1$ y el negativo es $2-a$. Ahora, estoy atascado en la distributividad. He encontrado que:

$$a \odot(b \oplus c)$$ $$= a \odot (b+c-1)$$ $$=(a\odot b) + (a \odot c) - (a \odot 1)$$ $$=ab-(a+b)+2+ac-(a+c)+2-(a1-(a+1)+2)$$ $$=ab-a-b+2+ac-a-c+2-a+a+1-2$$ $$=ab+ac-2a-b-c+3$$

¿Por qué no es igual a: $$= a \odot (b+c+(-1))$$ $$=(a\odot b) + (a \odot c) + (a \odot (-1))$$ $$=ab-(a+b)+2+ac-(a+c)+2+a(-1)-(a+(-1))+2)$$ $$=ab-a-b+2+ac-a-c+2-a-a+1+2$$ $$=ab+ac-4a-b-c+7$$

Sin embargo, la primera ecuación es igual a $$(a \odot b) \oplus (a \odot c)$$ $$=(ab-(a+b)+2) \oplus (ac-(a+c)+2)$$ $$=ab-(a+b)+2+ac-(a+c)+2-1$$ $$=ab-a-b+2+ac-a-c+2-1$$ $$=ab+ac-2a-b-c+3$$

Así que, ¿por qué la primera ecuación no es igual a la segunda, pero igual a la tercera? Cuál es la correcta?

Answer 1

Tenga en cuenta que $(a+1)\oplus (b+1)=(a+b)+1$: esto nos hace sospechar y computamos $$ \begin{align}(a+1)\odot(b+1)&=(a+1)(b+1)-(a+1)-(b+1)+2\ &=ab+1.\end{Alinee el} $$ concluimos que $x\mapsto x+1$ mapas del anillo commutattive unidad $(\mathbb Z,+,\cdot)$ % estructura $(\mathbb Z,\oplus,\odot)$, que por lo tanto también es un anillo comutativo con la unidad. (Y concluimos que $0+1=1$ es su aditivo neutro y que $1+1=2$ es su unidad.

Answer 2

Queremos mostrar que $\odot$ distribuye sobre $\oplus$. Sin embargo, no podemos asumir que $\odot$ distribuye sobre $+$.

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Para la primera parte, contamos con:\begin{align} a \odot(b \oplus c) &= a \odot (b + c - 1) \ &= (a)(b + c - 1) - ((a) + (b + c - 1)) + 2 \ &= (ab + ac - a) - (a + b + c - 1) + 2 \ &= ab + ac - 2a - b - c + 3 \ \end{align} para la última parte, contamos con:\begin{align} (a \odot b) \oplus (a \odot c) &= (ab - (a + b) + 2) \oplus (ac - (a + c) + 2) \ &= (ab - (a + b) + 2) + (ac - (a + c) + 2) - 1 \ &= ab + ac - 2a - b - c + 3 \ \end{align} que partidos.

Answer 3

Estoy suponiendo el dominio $\mathbb Z$, pero el mismo argumento funcionaría para $\mathbb Q$, $\mathbb R$, o realmente cualquier anillo.

En general, si $f:X\to\mathbb Z$ $1-1$ y a, podemos definir los operadores $X$:

$$x\oplus y = f^{-1}(f(x)+f(y))$$ $$x\odot y = f^{-1}(f(x)\cdot f(y))$$

En estos casos, la identidad aditiva es $f^{-1}(0)$.

En el caso anterior, este $X=\mathbb Z$ y $f(x)=x-1$, $f^{-1}(n)=n+1$.

Ahora, con estas definiciones:

$$\begin{align} x\odot(y\oplus z) &= x\odot f^{-1}(f(y)+f(z))\ &= f^{-1}\left(f(x)\cdot(f(y)+f(z))\right)\ &= f^{-1}(f(x)f(y)+f(x)f(z))\ &= f^{-1}(f(x\odot y) + f(x\odot z))\ &=(x\odot y)+(x\odot z) \end {Alinee el} $$