Corriente en el inductor solo cuando está cerrado el interruptor

Question

He leído que la corriente en un inductor circuito de la resistencia justo después de cerrar el interruptor es cero. Esto se deriva por la búsqueda de la ecuación diferencial en términos de la corriente mediante el uso de KVL.

Es cierto que la corriente en el circuito que consta de una bobina, un condensador y una resistencia(toda la serie) es cero demasiado en el tiempo, justo después de cerrar el interruptor? Traté de escribir una ecuación diferencial y la solución, pero se compone de funciones de Q y de productos derivados y su doble derivados, que no puedo resolver.

¿Qué y cómo puedo concluir acerca de la corriente en este circuito sólo después de que el interruptor está cerrado. (Tenga en cuenta que el interruptor se abre por un largo tiempo antes del cierre)

Answer 1

A partir de la segunda ley de Kirchhoff, la suma de todos los voltajes alrededor de un bucle es igual a cero. Es decir, la suma de los voltajes a través de los tres elementos del circuito, R, L y C, debe ser igual a la variable de voltaje de la fuente:

$$V_R+V_L+V_C = V(t)$$

Como $V_R=RI$, $V_L=L\frac{dI}{dt}$ y $V_C=\frac{Q}{C}$, obtenemos la ecuación, que es la correcta:

$$LI'(t) + RI(t) + \frac{1}{C}Q(t)=V(t)$$

Sustituyendo $I=\frac{dQ}{dt}$ y la diferenciación, llegamos a la segunda orden de la educación a distancia:

$$LI′′(t) + RI′(t) + \frac{1}{C}I(t)= V'(t)$$

Y suponiendo que la fuente de voltaje no varía con el tiempo, $V'(t)=0$.

Usted puede encontrar un paso a paso de la solución a la educación a distancia en este enlace (o en cualquier libro de texto estándar). Como se puede ver, existen tres posibilidades diferentes para la solución general, en función de las variables de su circuito específico, para iniciar la sustitución de su $R$, $L$, $C$ los valores en la $\alpha$, $\omega_0$, etc. las expresiones (esos son los coeficientes que se utilizan para simplificar los cálculos), y averiguar lo que usted necesita. A continuación, puede intentar la sustitución de diferentes condiciones iniciales (i. e., los valores de las corrientes en el circuito en el inicio) en su solución general, y la exploración de cómo el sistema de comportarse de cada uno de ellos. De esta manera, usted debería ser capaz de encontrar una respuesta a su pregunta.

Answer 2

Así, tenemos una serie de LCR circuito. $V$ es una fuente de voltaje constante. $L$, $C$, y $R$ representa la inductancia, la capacitancia y la resistencia en el circuito, respectivamente. Una corriente $I$ fluye a través del circuito.

Ahora, la corriente a través de cada uno de los componentes de la misma. Así, la diferencia de potencial entre cada componente añadido que en conjunto da la emf $V$. Por lo tanto la ecuación diferencial se convierte en:

$$L\frac{dI}{dt}+\frac{Q}{C}+IR=V$$

donde $Q$ es la carga en el capacitor y se relaciona con el actual por $I=\displaystyle{\frac{dQ}{dt}}$. Esto significa que sólo tenemos una incógnita en la ecuación, si reemplazamos todos los $I$ en términos de $Q$:

$$L\frac{d^2Q}{dt^2}+R\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{C}=V$$

que es un segundo orden de la ecuación diferencial. La diferenciación de nuevo w.r.t $t$, y reescribir en términos de $I$, obtenemos

$$L\frac{d^2I}{dt^2}+R\frac{dI}{dt}+\frac{I}{C}=\frac{dV}{dt}$$

Ya tenemos una constante de cc de la fuente de voltaje, $\displaystyle{\frac{dV}{dt}=0}$. Por lo tanto

$$L\frac{d^2I}{dt^2}+R\frac{dI}{dt}+\frac{I}{C}=0$$

Dividiendo todo por $L$, tenemos

$$\frac{d^2I}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dI}{dt}+\frac{I}{LC}=0$$ o

$$\frac{d^2I}{dt^2}+2\alpha\frac{dI}{dt}+\omega_0^2 I=0$$

donde $\displaystyle{\alpha=\frac{R}{2L}}$ $\displaystyle{\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}}$

Esta es una ODA con coeficientes constantes. La ecuación característica de esta ecuación diferencial está dada por:

$$s^2+2\alpha s+\omega_0^2=0$$

Las raíces de esta ecuación en $s$ son:

$s_1=-\alpha +\sqrt{\alpha^2-\omega^2}$ $s_2=-\alpha -\sqrt{\alpha^2-\omega^2}$

La solución general está dada por:

$$I(t)=A_1e^{s_1t}+A_2e^{s_2t}$$.

Ahora, en $t=0$, dejar que la corriente sea cero. Sobre el cambio en la corriente, entonces la corriente se eleva a un máximo valor de forma exponencial. De lo contrario, se tarda un tiempo finito para que la corriente tiene un valor constante en el circuito . La corriente no al instante se eleva a un valor máximo. Esto es debido a la presencia de la inductancia y la capacitancia en el circuito. Esta es la razón por la que decimos, a diferencia de en el circuito resistivo, en un LCR circuito, la corriente será cero, simplemente inmediata después de que el interruptor está cerrado.

Answer 3

La configuración de la ecuación diferencial

$$L \frac {dI}{dt} + RI + \frac {Q}{C} = V$$

no necesariamente responder a su pregunta, "¿Qué y cómo puedo concluir acerca de la corriente en este circuito sólo después de que el interruptor está cerrado."

Si usted mira en los métodos de solución de la ecuación diferencial en algún lugar en el camino a la solución de las condiciones iniciales son necesarios, uno de los cuales es a menudo la condición de la que han preguntado sobre - corriente inicial es cero.

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Hay un número de simplista formas de considerar lo que podría suceder:

1. Antes de que el interruptor está cerrado, la velocidad media/impulso de los electrones móviles en el circuito es cero.
   El interruptor está cerrado y de forma casi instantánea, hay una red de campo eléctrico creado en el circuito.
   Que el campo eléctrico ejerce una finito de la fuerza sobre los electrones móviles.
   Lo finito de la fuerza sobre los electrones móviles produce un número finito de aceleración de los electrones móviles.
   Una corriente eléctrica es el movimiento neto de los móviles de los electrones en un circuito.
   El móvil de electrones no pueden comenzar a moverse instantáneamente así que esta es la razón por la inicial de la corriente en el circuito es cero.

2. La energía almacenada en un inductor es $\frac 1 2 L I^2$.
   Una instantánea finito valor de la corriente requeriría poder infinito de ser entregados en el inductor.

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Por lo tanto la corriente cuando el interruptor está cerrado es cero y la tasa de cambio de la corriente en ese momento, asumiendo que el condensador está inicialmente descargado es $\frac V L$

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Un ejemplo interesante que es la continuación de este es de la carga de un condensador $C$ por una batería de voltaje $V$ a través de una resistencia en serie $R$.
La ecuación diferencial para este arreglo es

$$RI + \frac {Q}{C} = V$$

Suponiendo que el condensador no tiene ningún cargo en la cuando el interruptor está cerrado, la condición inicial es que el actual es $\frac VR$ - un cambio instantáneo de corriente cero.
Cuando el experimento se realiza parece que esto es exactamente lo que sucede.

En verdad, la corriente aumenta de cero a aproximadamente $\frac VR$ en un tiempo que es mucho menor que la constante de tiempo del circuito de $CR$.
La razón es que no es la inductancia en el circuito como es un bucle de alambre, pero de un valor muy pequeño pero significativo valor justo después de que el interruptor está cerrado.

Answer 4

El componente que asegura que la corriente es cero sólo después de que el interruptor está cerrado es el inductor. Los inductores no como los cambios en la actual, ya que un cambio en la actual significa que el campo magnético de la vinculación de la inductor está cambiando y esto genera una fuerza contraelectromotriz que se opone al cambio.

Si va a reemplazar el inductor con un pedazo de alambre que tendría un circuito RC y la corriente que fluye después de que el interruptor está cerrado sería $E/R$. Del condensador inhibir los cambios de voltaje, por lo que sólo después de que el interruptor está cerrado, el voltaje a través del capacitor es cero.