Secuencia de la delimitación de la $L^1$ funciones que convergen en un no $L^1$ función

Question

Encontré un ejercicio preguntando:

"Considere una secuencia $\{f_n\} \in L^1(X, \mu )$ que está limitado con respecto a la $L^1$ y converge en el sentido de la norma y converge en el sentido de la $f$ . Demuestra que $f \in L^1(X, \mu )$ "

Pero si considero $( \mathbb {R}, \lambda )$ y la secuencia:

$f_n(x)= \begin {cases} 1 \quad x \in [-n,n] \\ 0 \quad \text {otherwise} \end {cases}$

Tengo $f_n \to 1 =:f$ para cada $x \in \mathbb {R}$ . Cada $f_n \in L^1( \mathbb {R}, \lambda )$ pero $f \notin L^1( \mathbb {R}, \lambda )$ .

¿Dónde está el error?

Answer 1

Como ha señalado el N.S., se supone que la secuencia está limitada en $L^1(X, \mu )$ es decir, existe una constante $C \geq 0$ de tal manera que $$ \|f_n\|_1 := \int_X |f_n|\, d \mu \leq C, \qquad \forall n \in\mathbb {N}. $$ Bajo esta suposición, la reclamación es una consecuencia fácil del lema de Fatou, ya que $$ \int_X |f|\, d \mu \leq \liminf_n \int_X |f_n|\, d \mu \leq C. $$