Encontré que este paquete es trivial . Sin embargo, tengo problemas para persuadir a uno de mis compañeros de graduación de que esto es cierto. Él razonó de la siguiente manera:
1) El mapa de inclusión $i: \mathbb {CP}^{n} \rightarrow \mathbb {CP}^{n+1}$ nos da una división canónica $$i^{*}( \mathbb {TCP}^{n+1})= \mathbb {TCP}^{n} \oplus N \mathbb {CP}^{n}$$
2) Calculando la clase de Chern usando la fórmula de la suma de Whitney nos da $$c_{1}i^{*}( \mathbb {TCP}^{n+1})=c_{1}( \mathbb {TCP}^{n})+c_{1}(N \mathbb {CP}^{n})$$
3) Sabemos $c_{1}( \mathbb {TCP}^{n})=(n+1)a$ por Milnor-Stasheff. Por otra parte, por naturalidad tenemos $i^{*}[(n+2)a]=(n+2)a$ . Así que el paquete normal no es trivial ya que tiene clase $a=(n+2)a-(n+1)a$ .
Estamos de acuerdo en que $i^{*}( \mathbb {TCP}^{n+1})= \mathbb {TCP}^{n+1}| \mathbb {CP}^{n}$ por la naturaleza del paquete de retirada. Sin embargo, no estoy de acuerdo con que el paquete normal de $ \mathbb {CP}^{n}$ está incluido en $ \mathbb {TCP}^{n+1}| \mathbb {CP}^{n}$ . Sugirió la siguiente secuencia exacta:
$$0 \rightarrow \mathbb {TCP}^{n} \rightarrow \mathbb {TCP}^{n+1}| \mathbb {CP}^{n} \rightarrow N \mathbb {CP}^{n} \rightarrow 0$$ que creo que no debería sostenerse pensando en la situación de la esfera porque no hay razón para que los vectores normales se incluyan en los vectores tangentes en una dimensión superior.
Tampoco podía entender por qué $i^{*}$ es inyectable dado que su naturaleza es un mapa de restricción. Me dijo que esto es un "fenómeno general de $CW$ -compleja que el $n$ -la cohomología está determinada por la $n$ - el esqueleto". No creo que esto sea totalmente evidente en este caso, porque puede haber $H^{2}$ clases que es $0$ en $ \mathbb {TCP}^{n+1}$ pero no en su restricción a $ \mathbb {TCP}^{n+1}| \mathbb {CP}^{n}$ . Aquí estamos trabajando con $ \mathbb {CP}^{2}$ y $ \mathbb {CP}^{1}$ . Sospecho que podría estar equivocado y el mapa es inyectable. Pero no estoy seguro. Así que decidí preguntar.
