Para evitar confusiones, aquí están las definiciones de los objetos en esta pregunta:
1) Vamos a $\gamma:S^1\to\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ un suave lazo. La liquidación número de $\gamma$ es el número de veces $\gamma$ circunda $0$. Del mismo modo, si $\gamma:S^1\to\mathbb{R}^2\setminus\{p\}$ algunos $p\in\mathbb{R}^2$, la liquidación número de $\gamma$ $p$ es la liquidación número de la traducción $\gamma-p$. Como todos sabemos, la liquidación número puede ser definido rigurosamente por medio de la topología algebraica / dos variables de cálculo / variables complejas.
2) Deje $\gamma:S^1\to\mathbb{R}^2$ liso con no-desaparición de derivados. El giro de número de $\gamma$ es la liquidación número de $\dot{\gamma}$.
Mi pregunta es acerca de los siguientes
Reclamo: Vamos a $\gamma:S^1\to\mathbb{R}^2$ ser un simple bucle con los no-desaparición de derivados. Entonces el radio de número de $\gamma$ es $1$ o $-1$. Además, para cualquier $p$ en el área encerrada por $\gamma$, la liquidación número de $\gamma$ $p$ es igual al número de inflexión.
Esta afirmación parece ser bastante intuitivo, pero no puedo pensar de un modo elemental para demostrarlo. De una manera, supongo, es utilizar el hecho de que cualquier bucle es isotópico a la norma de la incrustación de $S^1\hookrightarrow\mathbb{R}^2$, o una incrustación con la misma imagen, pero a la inversa de la orientación. Para estos dos incrustaciones de inflexión número se puede calcular directamente, y entonces la reclamación de la siguiente manera a partir de la invariancia bajo isotopía. Sin embargo, el hecho de que cada una de dichas $\gamma$ es isotópico a la unidad de círculo no es tan elemental, y por lo tanto no es esta la prueba.
Cualquier otro enfoque? Cualquier información referente a girar los números de simples bucles? Nada más simple que el argumento anterior?
