Pontryagin clase de un producto de cuña de paquetes de vectores.

Question

Deje $E\to M$ ser un verdadero vector paquete a través de una variedad diferenciable $M$ y deje $p_{1}(E)$ denotar su primer Pontryagin clase. Me gustaría saber si hay alguna fórmula que permite escribir $p_{1}(\Lambda^2 E)$ en términos de $p_{1}(E)$. Estoy interesada en el caso donde la dimensión de la $M$ es menor o igual que siete y $E=TM$ es la tangente paquete de colector. En particular, $p_{1}(TM)\in H^{4}(M,\mathbb{Z})$, y para el caso de que yo soy interesado en, $H^{4}(M,\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}_{10}$ e lo $p_{1}(TM) = k\, u$ donde $k=0,\dots,9,$ $u$ es el generador de $\mathbb{Z}_{10}$.

Gracias.

Answer 1

Creo que es cierto que$\Lambda ^2(E\otimes \mathbb C)=(\Lambda^2E)\otimes \mathbb C$.

Y para$n$ - paquete de vector complejo dimensional$E'$, el principio de división nos da$c_2(\Lambda^2E')=c_1(E')^2\cdot\frac{(n-1)(n-2)}{2}+c_2(E')\cdot(3n-3)$. Entonces, quizás,$p(E)$ no es suficiente para calcular$p_1(\Lambda^2E)$, porque debe saber$c_1(E\otimes\mathbb C)$.

EDITAR: por ejemplo, si$E$ es orientable, entonces$c_1(E\otimes \mathbb C)=0$, porque podemos inducir$E$ del paquete tautológico sobre grassmannian orientado$G_+(n,\infty)$, y$H^2(G_+(n,\infty))=0$.