Una descripción práctica de una "terminación" del monoid comutativo libre de contable muchos generadores

Question

Esto es, básicamente, un yo-soy-débil-en-algebraico-la geometría de la pregunta. Le pregunté como un calentamiento pregunta aquí, pero Ilya N me preguntó para romper el post en varias preguntas.

Considere la posibilidad de la libre conmutativa monoid $X$ en countably muchos generadores. Deje $A$ ser el álgebra de funciones de todos los $X \to \mathbb C$. A continuación, $A$ es un conmutativa y cocommutative bialgebra, y por lo tanto un conmutativa monoid objeto en $(\text{CAlg})^{\rm op}$ donde $\text{CAlg}$ es la categoría de álgebras conmutativas. Un global de $A \in (\text{CAlg})^{\rm op}$ es un álgebra de homomorphism $A \to \mathbb C$. El conjunto mundial de puntos de $A$ es, naturalmente, un conmutativa monoid que contiene $X$ como submonoid.

¿Cuáles son los puntos esenciales de $A$? Estoy bastante seguro de que hay algo más que los puntos de $X$. La forma de un monoid, porque $A$ es un bialgebra: ¿hay una descripción razonable de la monoid estructura?

Answer 1

Preliminares

Primera parte de tu pregunta no utilizar el bialgebra estructura. Es decir, usted tiene un espacio de funciones contables muchos puntos que voy a denotar $A = \mathbb C_1\times \mathbb C_2\times\cdots \times\mathbb C_n\times\cdots$ equipada con $+$ $\times$ pointwise. Te gustaría clasificar todos los álgebra de mapas $\varphi: A\to \mathbb C$.

Para empezar, tenga en cuenta que idempotents debe ir a idempotents, de los cuales, $\mathbb C$ tiene sólo dos: $0$$1$. Por otra parte, $1\times1\times\cdots \mapsto 1$ (a menos que todo el mapa es trivial).

Clasificación de los puntos de

Considerar funciones características $\lambda_n$ que tomar el valor del punto marcado $n$. Como $\lambda_n^2 = \lambda_n$, debemos tener $\varphi(\lambda_n) = 0$ o $1$. Hay tres casos:

• hay dos índices de $i, j$ tal que $\varphi(\lambda_i) = \varphi(\lambda_j) = 1$. Esto es imposible: $0 = \varphi(\lambda_i\lambda_j) = 1$.
• existe exactamente un índice de $i$ que $\varphi(\lambda_i) = 1$. Esto implica $\varphi(f) = \varphi((1-\lambda_i)f + \lambda_if) = f(i)$.
• todas las funciones $\lambda_i$, y, por lo tanto, todos finito de sumas de $A$, se encuentran en el núcleo de $\varphi$.

Los mapas de este último tipo son, de hecho, el "extra" de puntos. Nota, sin embargo, que son "salvajes" y puede ser fácilmente asesinados por algunos extra finitness supuestos, por ejemplo, la siguiente "límite de ceros" de la propiedad: si $\varphi$ restringido a todos los subconjuntos finitos es 0, $\varphi$ es 0.

Salvaje mapas

Usted puede construir ejemplos de estos salvajes mapas usando el axioma de elección. Para hacerlo, los elementos de la forma$a\times a \times \cdots$, y de todas sus modificaciones limitadas a la mapa, a $a$; denotar los elementos $A_0$. A continuación, seleccione una arbitraria $T_1\in A$ que es trascendental $A_0$ y el mapa es arbitraria $t_1\in \mathbb C$. Este va a corregir todos los elementos que se encuentran en la clausura algebraica $A_1 = A_0(T_1)$. Hacerlo de nuevo por $T_2$ y repita hasta que haya nada. En cada paso se está produciendo un mapa adecuado,$A_n \to \mathbb C$, para obtener el mapa final $A\to \mathbb C$ como el límite de las.

Por el contrario, cualquier salvaje mapa puede ser construido por el proceso anterior, suponiendo que todas las necesarias conjunto teórico cosas. Así, la respuesta es, la naturaleza de los puntos se clasifican por los mapas de esta terrible no-constructiva de la secuencia de $T_i$ (de la cardinalidad de la misma como $A$, es decir, continuo) a $\mathbb C$. Aquellos que están de nuevo en la cardinalidad del continuo.

Monoid estructura

Ahora se recuerda que $A$ vino con una base natural de los enumerados por los números de $(n_1, n_2, \dots, n_k, \dots) \in \mathbb Z^+\oplus\mathbb Z^+\oplus\cdots\oplus\mathbb Z^+\oplus\cdots$ (que es isomorfo a $\mathbb Z_{>0}^\times$). Por lo tanto, debe ser posible añadir cualquiera de los dos puntos (denotado $\oplus$). Las siguientes propiedades son claras:

• regular los puntos de agregar normalmente como $n_k = n_k' + n_k''$;
• añadir wild punto para regular o comodín resultados de punto en una salvaje punto.

Ahora, aunque también se puede escribir de forma explícita algunos puntos salvajes, casi todos ellos son muy difícil de describir. La mejor aproximación a la imagen resultante es probablemente esto: imagina que un conjunto de puntos salvajes $W$; todo el espacio es $W \times \mathbb Z^+\times \mathbb Z^+\times\cdots$. La pregunta que queda, por lo tanto, es lo que monoid $W$ es equivalente a. Por eso, usted necesita para resolver estas preguntas:

• es cierto que usted no puede tener $w_1 \oplus w_2 \oplus \cdots\oplus w_n = r$ donde $r$ es un punto habitual;
• si se puede restar de ellos;
• si, y cómo salvaje puntos son divisibles por productos naturales.

Las operaciones en puntos salvajes

Creo que ahora es hora de publicar otra pregunta :)

Answer 2

Cuando el campo es $k=\mathbb F_2$ en lugar de $\mathbb C$, puede construir un álgebra de morfismos de la $k$-algebra de funciones en un conjunto infinito a $k$ que no son evaluaciones, mediante el uso de un ultrafilter.

Deje $U$ ser un no-director de ultrafilter en $X=\mathbb N$, y deje $I$ a ser el ideal de $k(X)$, el álgebra de $k$funciones con valores en $X$, de tal manera que una función $f:X\to k$ $I$ fib $\{x\in X:f(x)=0\}\in U$. Esto es de hecho una correcta ideal, como uno de los cheques a la vez, y es que en efecto máximo. Por otra parte, $k(X)/I$ tiene exactamente dos elementos, por lo que de $U$ obtenemos un morfismos $\epsilon:k(X)\to k$. Como el ultrafilter $U$ no es principal, este mapa $\epsilon$ no es una evaluación.

(Si usted hace lo mismo con $\mathbb C$, no se puede demostrar que $k(X)/I$ es de nuevo $\mathbb C$; de hecho, generalmente no es muy!) (Por otro lado, el mismo es cierto para cualquier campo finito, supongo, porque decir que el campo ha $q$ elementos de primer orden de la propiedad del campo y Łoś del teorema se aplica... tal vez alguien con un firme agarre sobre esto puede confirmar esto?)