Pedidos normales y propagador de Boson gratis

Question

echemos un 2d gratis bosón de CFT como en la página 27 de Schellekens notas de la conferencia: Tengo los siguientes hechos:

1. Puedo ampliar la (holomorphic parte de el) campo $$ f(z) = \hat q + i\hat p\log(z) + ∑_{n≠0}\frac{a_n}{n}z^{-n}; $$
2. La no-desaparición de conmutación relación $$ [\hat q,\hat p]=i; \qquad\qquad\qquad [a_n,a_m]=nδ_{m+n,0}; $$
3. $\hat p$ $\hat q$ son hermitian operadores (Schellekens dice real);
4. Vacío $|0⟩$ se define de esta manera $$ a_n|0⟩=0=\hat p|0⟩\qquad (n>0); $$
5. Desde $[\hat p,e^{k\hat q}]= e^{k\hat q}$ I puede definir el impulso de los estados $$ |k;0⟩ = e^{k\hat q}|0⟩, $$ por eso podemos considerar la $\hat q$ como la creación de un operador. De hecho en las anteriores notas de la conferencia escribe

Definimos normalordering de $p$ $q$ de tal manera que $p$ siempre a la derecha de $q$.

AHORA

Quiero calcular el propagador como lo hace en la sección 2.5. Si yo no uso normal de un pedido no es un término $$ ⟨0|\sombrero q^2/0⟩, $$

al ampliar la $φ(z)φ(w)$ y me tome la $q$-$q$ parte, que no soy capaz de evaluar; en particular,

1. Él utiliza el normal procedimiento de la orden "venenosos" $\hat q$ como la creación de un operador a fin de que $$ ⟨0|\sombrero p =0, $$ y de él obtener el resultado correcto;
2. Si es cierto, se hermitian, yo también hubiera $\hat q|0⟩=0$, pero esto parece contradecir el hecho de que $\hat q$ es una creación del operador, como se expresó en el punto 5.

Pensé que hermitian operador no podía ser la creación o la aniquilación: de nuevo debido a la hermiticity me hubiera $$ 0=⟨0|\sombrero q \hat p|0⟩ = ⟨0|[\hat q,\hat p]|0⟩ + ⟨0|\sombrero de p\hat q|0⟩ = i + ⟨0|\sombrero de p\hat q|0⟩=i $$

Donde estoy equivocado? ¿Cómo puedo calcular propagador de sólo utilizar el habitual colector truco (es decir,$⟨0|\hat p\hat q|0⟩ = ⟨0|\hat q\hat p|0⟩ + ⟨0|[\hat p,\hat q]|0⟩$)?

Answer 1

1. Nótese en primer lugar que los modos de oscilador $\hat{\alpha}_{n\neq 0}$ son irrelevantes para el OP pregunta, así que vamos a deshacerse de ellos por la simplicidad. Además de la identidad de ${\bf 1}$, sólo tenemos dos operadores independientes $\hat{q}$$\hat{p}$, es decir, el estándar de Heisenberg álgebra con los no-cero CCRs $$[\hat{q},\hat{p}]~=~i\hbar~{\bf 1}.\tag{1}$$

2. Ahora las opciones de bra de vacío de estado $\langle 0|$, ket vacío $|0\rangle$, y la normal de ordenar $:~:$ no son únicas, sino que se ha de cumplir algunos de los requisitos generales, cf. mi Phys.SE la respuesta aquí. Sin embargo, $$\langle 0|^{\dagger}~=~|0\rangle \qquad\qquad (\longleftarrow\text{In general wrong!} )\tag{2}$$ es no un requisito.

3. Schelleken normal de orden $:~:$ es conocido como $\hat{q}\hat{p}$-ordenar. Las condiciones $$ \langle 0| \hat{q}~~=~~0~~=~~\hat{p}|0\rangle \tag{3}$$ es una elección natural para cumplir con los requisitos generales.

4. Con las condiciones (3), el sostén de vacío de estado $\langle 0|$ se convierte en una posición eigenstate con $q=0$, y el ket vacío $|0\rangle$ se convierte en un impulso eigenstate con $p=0$. En particular, eq. (2) no se puede sostener.

5. Es sencillo desarrollar una pertinente noción coherente de los estados en el marco de $\hat{q}\hat{p}$-ordenar. La coherente bra estados pasan a ser la posición de los estados y de la coherente ket estados convertirse en el impulso de los estados. Esto se lo dejamos como ejercicio para el lector.