Mostrar una familia infinita de polinomios irreducible

Question

Me gustaría mostrar que los polinomios\begin{equation} x^n - 2x^{n-1} - 1 \end{equation} son irreducibles $\mathbf{Z}$, cuando $n > 2$. He utilizado algunos sistemas de álgebra computacional para comprobar que esto es cierto cuando $n

Answer 1

Sugerencia:

Primero probar que $z^n - 2 z^{n-1} - 1$ no tiene ningún cero para $|z| = 1$.

A continuación, aplicar extendido Rouch. Tenemos $|z^n - 1| \le 2 < |z^n - 2z^{n-1} - 1| + |2 z^{n-1} |$ sobre el círculo unidad. Por lo $z^n - 2z^{n-1} - 1$ tiene el mismo número de ceros como $z^{n-1}$ dentro del círculo unidad. es decir, $(n-1)$.

Por lo tanto, si $z^n - 2z^{n-1} - 1 = f(z)g(z)$ al menos uno de $f$ $g$ tiene todas las raíces de módulo menor que uno. Pero entonces el coeficiente constante tiene valor absoluto menos de $1$. Lo que significa que el término constante de que el polinomio tiene que ser cero, ya que es un polinomio entero. Lo que da una contradicción como el cero no es una raíz de $z^n - 2z^{n-1} - 1$.

Edit: (En referencia a E. Girgin del comentario), Incluso en la igualdad caso, uno puede todavía utilizar Perron, siempre que el polinomio no tiene ningún cero en el círculo unidad. Sólo siga la anterior prueba.