Descomposición de Echalon en álgebras binarias barajadas (Hopf)

Question

Consideremos un álgebra binaria aleatoria $\mathcal{W}$ de dos letras $a, b$ . Como de costumbre, la concatenación de dos palabras $u = u_1 \dots u_m$ , $v = v_1 \dots v_n$ se define como: $$u \bullet v := u_1 \dots u_m v_1 \dots v_n$$ y el producto aleatorio se define recursivamente como: $$(k \bullet u) * (l \bullet v) := k \bullet (u * (l \bullet v) ) + l \bullet ( (k \bullet u) * v)$$ donde $k,l \in \{a,b\}$ son algunas letras... Si es necesario, el coproducto de $w \in \mathcal{W}$ es: $$\Delta (w) = \sum_{u \bullet v = w} u \otimes v.$$

Un elemento $c \in \mathcal{W}$ se dice que está en forma de ecalón de peso $N$ si es el exponente de concatenación de alguna combinación lineal de $a$ y $b$ es decir: $$c = (\alpha a + \beta b)^N = \sum_{k=0}^N \alpha^{N-k} \beta^{k} (a^{N-k} * b^{k}).$$

El problema que tengo es demostrar (relativamente fácil) que cualquier elemento barajado $a^m * b^n$ puede representarse como una combinación de elementos de ecalón de peso $m+n$ y encontrar una fórmula (la parte difícil) para esto, por ejemplo algo como: $$a^m * b^n = \sum_{k=1}^{m+n} \gamma_k^{(m,n)} (\alpha_k^{(m,n)} a + \beta_k^{(m,n)} b)^{m+n} \, ?$$ Ejemplos: $$a*b = ab + ba = \frac{1}{2} \left( (a+b)^2 - (a-b)^2 \right),$$ $$a^2 * b = a^2b + aba + ba^2 = \frac{1}{2} \left( (a+b)^3 - (a-b)^3 - 2 b^3 \right)...$$

Answer 1

He descubierto que aplicando la fórmula de la diferencia:

$$\Delta^n f(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \binom{n}{k} f(x + k),$$

donde $\Delta f(x) = f(x+1) - f(x)$ el $f(x) = x^{n+1}$ :

$$ \frac{n}{2} + x = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{n-k}}{(n+1)!} \binom{n}{k} (x + k)^{n+1}, \\ \Rightarrow a * b^n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{n-k}}{n!} \binom{n}{k} (a + k \, b)^{n+1} - \binom{n+1}{2} b^{n+1},$$

que proporciona un paso recursivo que resuelve el problema dado.