Representación es irreducible

Question

Que $\rho : S_n \to \mathrm{GL}(\mathbb{C}^n)$, donde $\rho(\sigma)(x_1, \ldots, xn) = (x{\sigma^{-1}(1)}, \ldots, x_{\sigma^{-1}(n)})$. ¿Cómo puede usted probar que $W = { (x_1, \ldots, x_n) : x_1 + \cdots + x_n = 0 } \subset \mathbb{C}^n$ es una representación irreducible?

Answer 1

La primera vez que me asignaron este ejercicio que me dijeron explícitamente no a utilizar la teoría del carácter. Hay una sencilla prueba directa (que muestran directamente que la órbita de cualquier vector distinto de cero es todo $W$) y te imploro que intentar encontrarlo.

Answer 2

Uso la fórmula de seguimiento $\rho$ a que $\rho$ se puede descomponer en dos representaciones irreducibles.