Integral escrito como la integral de una medida

Question

Permita que$(X,\mathcal M,\mu)$ sea un espacio de medida y permita que$f\in L^1(X,\mu)$ sea una función positiva. Muestre que$$\int_X f \, d\mu=\int_{(0,\infty)} \mu(\{f>t\}) \, dt.$ $

Answer 1

La forma más rápida es utilizar Fubini:

$$ \begin{align} & \int_{(0,\infty)} \mu(\{f>t\}) \, dt=\int^\infty_0 \int _X \chi _{(\{f>t\})} \, d\mu \, dt = \int_X \int^\infty_0 \chi _{(\{f>t\})} \, dt \, d\mu \\[10pt] = {} & \int_X \int_0^{f(x)} 1 \, dt \, d\mu = \int_X f(x) \, d\mu \end{align} $$

pero es una especie de trampa creo que es porque Fubini no es trivial.

Pero aquí es una forma muy básica:

Definir $E_{nk} = \left\{x \in X\mid f(x) > \frac{k}{2^n}\right\}$

A continuación, establezca $f_n = \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^{4^n} \chi _{E_{nk}}$, de modo que

$$\tag1\int_X f_n \, d\mu = \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^{4^n} \mu E_{nk}$$

Ahora, $f_n$ aumenta a $f$ por lo que el MCT dice $$\tag2\int_X f\,d\mu = \lim_{n\to\infty} \int_X f_n\,d\mu.$$

Como $\left \{ x\in X\mid f(x)>t \right \} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \left \{ x \in X\mid f_n(x)>t \right \}$

tenemos $\mu\left \{ x\in X\mid f(x)>t \right \} = \lim_{n\to\infty} \mu\left \{ x \in X\mid f_n(x)>t \right \}$

así que podemos aplicar MCT de nuevo:

$$\tag3\int_0^\infty \mu \left \{ x\in X\mid f(x)>t \right \} \, dt=\lim_{n\to \infty} \int_0^\infty \mu \left \{ x\in X\mid f_n(x)>t \right \} \, dt$$

Observe ahora que $\mu E_{nk}=\mu\left\{x \in X\mid f(x) \gt \frac{k}{2^n} \right\} = \mu \left \{ x\in X\mid f_n(x)>t\right \}$ siempre $1\leq k \leq 4^n$ $\frac{k-1}{2^n} < t\leq \frac{k}{2^n}$ $0$ si $t>4^n$.

Pero entonces esto significa que $$\tag4\int_0^\infty \mu \left \{ x\in X\mid f_n(x) > t\right \} \, dt = \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^{4^n} \mu E_{nk}$$

$(1)$ $(4)$ dar $\int_X f_n \, d\mu = \int_0^\infty \mu \left \{ x\in X\mid f_{n}(x)>t\right \} \, dt$

y ahora tomando límites y la invocación de $(2)$ $(3)$ dar el resultado.