En una entrevista el entrevistador me preguntó lo siguiente pero no da la respuesta.
¿${0,1}^\mathbb{N}$ con la topología producto es homeomorfa a qué subconjunto de $\mathbb{R}$?
¿Puede alguien darme la respuesta y me explicar por favor? Gracias por su ayuda.
Voy a asumir que la topología en $\{0,1\}$ es la topología discreta.
El espacio de $\{0,1\}^\Bbb N$ es llamado el espacio de Cantor. Es un cero-dimensional compacta de espacio métrico, que no tiene puntos aislados. A partir de estas propiedades también se sigue que es totalmente desconectados así.
Pero hay un trivial teorema (por Brouwer, creo) indicando lo siguiente:
Todos completamente metrizable, totalmente desconectada espacio compacto sin puntos aislados es homeomórficos para el espacio de Cantor.
Ya que cada subconjunto de $\Bbb R$ es metrizable, y cada subconjunto compacto es completamente metrizable (porque compacto métrica espacios están completos), se deduce que el $A\subseteq\Bbb R$ es homeomórficos para el Cantor espacio si y sólo si a es compacto, totalmente desconectada y sin puntos aislados.
Me di cuenta de que me lea la pregunta equivocada, y se pregunta sobre un subconjunto particular, en lugar de una caracterización de todos los subconjuntos.
En este caso, la respuesta más simple sería el conjunto de todos los números reales en el intervalo de $[0,1]$ que en su base $3$ dígitos de expansión (tomando finito expansión infinita cuando podemos, por ejemplo,$0.2$$0.\bar 1$) el dígito $1$ no aparece en absoluto.
Para ver esto, observe que podemos asignar una secuencia $\langle a_n\mid n\in\Bbb n\rangle$ en el producto del número real $\sum_{n=1}^\infty2\frac{a_n}{3^n}$, que es un número en el intervalo de $[0,1]$ que en su trenary de expansión hay ningún dígito $1$. No es difícil mostrar que este es un bijection.
Para demostrar que es un homeomorphism, nota de un conjunto abierto en $\{0,1\}^\Bbb N$ es de todas las secuencias que tienen algún número finito de coordenadas fijo. Esto define un número en $[0,1]$, y podemos encontrar algunos de $\varepsilon$ que cada secuencia en nuestra base de conjunto abierto es dentro de $\varepsilon$ distancia de este número; y viceversa, dado un número en el rango y algunos básicos intervalo abierto alrededor de ella podemos definir el basic conjunto abierto en $\{0,1\}^\Bbb N$ cuya imagen está contenida en el intervalo.
Esta idea fue tratado por Roger Penrose en la página 370 de su libro "El Camino a la Realidad: Una Guía Completa a las Leyes del Universo".
El conjunto es llamado el Conjunto de Cantor, y de acuerdo a Wikipedia: Como un espacio topológico, el conjunto de Cantor es, naturalmente, homeomórficos para el producto de countably muchas copias del espacio $\{0, 1\}$, donde cada ejemplar lleva a la topología discreta. Este es el espacio de todas las secuencias de dos dígitos.
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