¿Línea por línea las declaraciones implican una $\iff$, un $\implies$, o son ambiguas?

Question

Esta es, probablemente, un poco básico, pero decir que quiere "probar" que 'Si $x + 1 = x(1 + a)$$ax = 1$.

Ahora, de vuelta en la escuela secundaria, me gustaría haber ido por la línea-por-línea de método, es decir,

\begin{align*} x + 1 &= x(1 + a)\\ x + 1 &= x + ax\\ 1 &= ax \end{align*}

Pero ahora que estoy empezando a escribir pruebas simples parece que los ejemplos que me soy dado a hacer más uso de frases como " [ ... ] $x + 1 = x + ax$, lo que implica que $1 = ax$ [...]' en lugar de la anterior. No estoy seguro si es sólo el estilo de este profesor de escribir de esa manera, pero son estas dos cosas equivalente? Es la línea-por-línea de diseño por encima de la misma como diciendo:$$x + 1 = x(1 + a) \iff x + 1 = x + ax \iff 1 = ax?$$ or perhaps is it the softer $$x + 1 = x(1 + a) \implies x + 1 = x + ax \implies 1 = ax?$$

Básicamente, lo que hace los saltos de línea en la línea por el método de la línea de decir acerca de cada instrucción que sigue a otro? Me pregunto si es sólo en general, ambigua y así evitarse en favor de la indicación expresa de la terminología?

Answer 1

Por favor, agregue siempre el $\Leftrightarrow$ o $\Rightarrow$ (o incluso $\Leftarrow$) entre las líneas. Mejor aún, añadir un poco de texto narrativo. Nada es más difícil de adivinar para el lector que si usted está haciendo la equivalencia se transforma o se deriven de las condiciones necesarias o son de forma heurística buscando las condiciones suficientes. Recuerde que usted debe probar las soluciones que se encuentran a ver si cumplen la ecuación original? Que es, precisamente, porque no equivalencias ocurrir con la costumbre se transforma y puede introducir soluciones espurias (por ejemplo, si se multiplican ambos lados de una ecuación con $a-b$, que es no una equivalencia transfrom si puede suceder que $a=b$; la alternativa sería establecer engorroso caso distictions en todas las líneas posteriores). Y no sólo considerar a alguien dar las marcas para la solución de su lector - usted debe también estar seguro de lo que quiso decir cuando escribió eso! Mencionar una razón de por qué dos líneas son equivalentes (o lo que sea) también sería útil.

En tu ejemplo, quieres demostrar que "Si $A$$Z$", por lo que no hay necesidad de tener equivalencias en cada paso (y por lo tanto no hay necesidad de cuidado si lo son); $A\Rightarrow B\Rightarrow\ldots\Rightarrow Z$ es suficiente. En tal unidireccional prueba puede encantado de hacer cosas como "multiplicar ambos lados con $0$" o similares.

Answer 2

Generalmente, sin precisión (que es malo), yo esperaría $\implies$, y no $\iff$.

Es claro que a la hora de resolver una ecuación: vamos a resolver

$$\sqrt{1-x}=x$$ $$1-x=x^2$$ $$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$

El último paso es simplemente resolver un trinomio, yo no se muestran los detalles no son importantes aquí. Lo que es importante, es que usted tiene algunos problemas con el root $$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

Porque entonces usted tiene la raíz cuadrada de un número negativo en la ecuación original.

Por lo tanto, por lo general, al resolver una ecuación, utilizando implicaciones, es absolutamente necesario que compruebe sus soluciones son en realidad soluciones de la ecuación: usted sabe que los tiene todos, pero no puede ser malo , soluciones, como aquí.

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A veces, es aún más sutil, como a la hora de resolver una ecuación cúbica.

Una vez que usted tiene su ecuación en la forma $z^3+pz+q=0$, un método de solución consiste en la elaboración de $z=u+v$, luego

$$u^3+b^3+(3uv+p)(u+v)+q=0$$

Y, usted puede resolver esto a través de la escritura

$$u^3+v^3=-q$$ $$uv=-p/3$$

A continuación, un trinomio aparece, y es fácil llegar a la conclusión.

Sin embargo, no se sabe de antemano que esta manera de proceder le dan ninguna solución en absoluto. Puede suceder que usted no para resolver este sistema de dos ecuaciones, aunque la ecuación original ha $3$ raíces. Y puede suceder porque le han añadido una condición, mediante la separación de una igualdad de $A+B=0$ a $A=0$ e $B=0$. Así que el símbolo lógico en este caso sería realmente algún tipo de $\Longleftarrow$.