Límite de diferencia de integral y suma

Question

$f:[0,1]\rightarrow\mathbb R$ y$f\in C^1$, entonces existe el límite$\lim_{n\rightarrow\infty} n(\int_{0}^{1}f(x)dx-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k-1}{n}))$.

Supongo que el núcleo está en la suma porque entonces puedo escribir la suma como una integral, pero no sé cómo.

Answer 1

Cada función continua es integrable un por lo tanto todas las sumas de Riemann convergen al valor de la integral, observe que la suma es sólo una suma de Riemann de una partición de [0,1]. Ahora usted tiene una estimación del error en que se hizo por la suma de Riemann. Aquí el uso que la derivada es continua y por lo tanto tiene un máximo en [0,1] (consulte la definición de derivable en un intervalo cerrado, si se han definido de manera diferente, esto puede que no funcione).

Cuando usted mira a los tiempos parciales $I=\left[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}\right]$ \[ \left|\int_{\frac{i}{n}}^\frac{i+1}{n} f(x) \; \mathrm{d}x -\frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right| \leq \frac{1}{n^2} \cdot \sup_{\xi \in I} f'(\xi)\]

Un poco más de explicación, con el teorema fundamental del cálculo nos han \[\int_{\frac{i}{n}}^\frac{i+1}{n} f(x)\; \mathrm{d}x= \frac{1}{n} \cdot f(\xi_1)\] con $\xi_1 \in \left(\frac{i}{n}, \frac{i+1}{n}\right)$. Así que sabemos que \[\int_{\frac{i}{n}}^\frac{i+1}{n} f(x) \; \mathrm{d}x -\frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right) = \frac{1}{n} \left(f(\xi_1)-f(\tfrac{i}{n}) \right) \] Con el valor medio teorema de obtener \[ \frac{1}{n} \left(f(\xi_1)-f(\tfrac{i}{n}) \right)==\frac{1}{n} \cdot \left(\xi_1-\frac{i}{n} \right) \cdot f'(\xi_2)\leq \frac{1}{n^2} f'(\xi_2)\] con $\xi_2 \in \left( \frac{i}{n} , \xi_i\right)$

El uso de todo esto, hemos \[ \lim_{n\to \infty} n \cdot \left( \int_0^1 f(x)\; \mathrm{d}x - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(\tfrac{i-1}{n})\right) = \lim_{n\to \infty} n \cdot \left( \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} \cdot \left( \xi_i-\frac{i}{n}\right) f'(\xi_i) \right)\] Ahora nos fijamos en los valores absolutos y tienen \begin{align*} \lim_{n\to \infty} n \cdot \left( \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} \cdot \left( \xi_i-\frac{i}{n}\right) f'(\xi_i) \right)& \leq \lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n \left( \xi_i -\frac{1}{n} \right) |f'(\xi_i)|\\ & \leq \lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} |f'(\xi_i)| \\ &\leq \sup_{\xi \in [0,1]} |f'(\xi)| \end{align*}