Estaba buscando algún ejemplo de un operador positivo que no sea completamente positivo en un álgebra de banach. si considero que mi álgebra de banach es$\text{M}_n(\mathbb{C})$ de matrices sobre números complejos. Y considere que mi operador como$A$ va a transponerse de$A$. Entonces este operador sale a ser positivo. ¿Es este mapa completamente positivo o simplemente positivo?
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mona
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La transposición no es completamente positiva. Para la prueba, vea el ejemplo 3.6 página 24 de estas notas .
La transposición es el ejemplo obvio. Que no es completamente positivo, se puede verificar rápidamente mediante el uso de Choi–Jamiołkowski isomorfismo.
Siguiente Woronowicz (que utiliza técnicas de St{\o}más rígida a modo de) usted puede demostrar que cualquier positivo mapa de $\phi:M_2(\mathbb{C})\rightarrow M_2(\mathbb{C})$ puede ser descompuesto como un completo positivos $+$ transpuesta de una completamente positivo mapa.
Si consideras $M_n(\mathbb{C})$$n\geq3$, luego hay un par de ejemplos que no puede ser escrita en la forma anterior. El primero y el ejemplo más famoso fue construido por Choi. Para una revisión rápida y una lista de este tipo de mapas, vea el documento de Chruscinski y Kossakowski.
El problema es más complicado si usted se considera sub-álgebras de $\mathcal{B}(\mathbb{C}^n)$ o cuando el $C^*$ álgebra es de infinitas dimensiones.
