Demostrar

Question

$P(x)$ es una función polinómica tal que $P(1)=0;$

$$P'(x)>P(x), \forall \space x>1 ;$$

Luego demostrar que %#% $ #%

Answer 1

Sugerencia: Utilice el lema de Gronwall y su condición inicial.

Answer 2

Sugerencia: Considere la función $f(x)=e^{-x}P(x)$.

De la hipótesis $e^{-x}P'(x)-e^{-x}P(x)>0, \ \forall x>1$ o equivalente $f'(x)>0,\ \forall x>1$.
De $f(1)=0$ sigue que $f(x)>0, \ \forall x>1$.
Por lo tanto $P(x)>0, \ \forall x>1$.

Answer 3

Supongamos que existe $x_0>1$ tal que $P(x_0)=0$; sin pérdida de generalidad, supongamos que $P(x) \neq 0$ $x \in (1,x_0)$ (es suficiente tomar $x_0 = \min { x >1 \mid P(x)=0}$, porque $P$ tiene solamente finito muchos ceros).

Así $P$ es positivo o negativo en $(1,x_0)$. $P'(1)>P(1)=0$, Así $P$ está aumentando en el $(1,1+\epsilon)$ $\epsilon$ pequeñas bastante ($P'$ es continua). Por lo tanto, $P>0$ $(1,x_0)$.

Aplicando el teorema de valor medio, existe $x_1 \in (1,x_0)$ tal que $P'(x_1)=0$, por lo tanto el $P(x_1)

0$ $x>1$.