Unidad cerrada bola es compacto?

Question

Deje $X$ ser un espacio de Banach y deje $\operatorname{Lip}_{0}(X)$ ser el espacio de todos los verdaderos valores de funciones de Lipschitz que se desvanecen en $0$. El espacio de $\operatorname{Lip}_{0}(X)$ es un espacio de Banach cuando está equipado con el Lipschitz norma, definido por:

$$L(f)=\|f\|_{\operatorname{Lip}}=\sup\left\{\frac{f(x)-f(y)}{\|x-y\|}:\,x,y\in X,\,x\neq y\right\}$$

Mi objetivo es mostrar que la bola unidad cerrada de el espacio de $\operatorname{Lip}_{0}(X)$ es compacto para la topología de pointwise convergencia. Intenté sin éxito utilizar el teorema de Tychonoff o de Banach-Alaoglu teorema. Me ha fallado porque el Banach-Alaoglu teorema en cuestión la bola unidad cerrada de la doble espacio con los débiles-topología de estrella.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

El teorema de Tychonoff da a usted — la unidad cerrada balón $B$ $\def\Lip{\operatorname{Lip}}\Lip_0(X)$ con la topología de pointwise convergencia es, naturalmente, se dio cuenta de como un subespacio del producto

$Y = \prod_{x \in X} I_x$

donde $I_x = [\hspace{.1 cm}-||x||, ||x||\hspace{.1 cm}]$. Los intervalos son elegidos teniendo en cuenta la expresión de Lipschitz con $y = 0$. Ahora, el espacio del producto $Y$ es compacto por el Teorema de Tychonoff, así que sólo debe mostrar que $B$ está cerrado en este espacio, o que $Y \setminus B$ está abierto.

Supongamos $f \in Y \setminus B$. Luego hay algunos $z, w \in X$ tal que $\cfrac{f(z) - f(w)}{||z - w||} = 1 + \varepsilon > 1$. Elija abrir subconjuntos $O_z$$O_w$$I_z$$I_w$, respectivamente, tales que $f(z) \in O_z$, $f(w) \in O_w$, y si $a \in O_z, b \in O_w$,$\cfrac{a - b}{||z - w||} > 1 + \frac{\varepsilon}{2}$. Esto nos permite formar un barrio de $f$ disjunta de a $B$, es decir, $\{ g \in Y \mathrel: g(z) \in O_z \text{ and } g(w) \in O_w \}$.