Ordinales que satisfacen $\alpha = \aleph_\alpha$ con cofinality $\kappa$

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente pregunta:

Demostrar que para cada cardenal, $\kappa \gt \aleph_0$, hay una existe una $\alpha$ con cofinality $\kappa$ tal que $\alpha = \aleph_\alpha$

Traté de construir $\alpha$ como el límite de $\kappa$ regular cardenales con diversas propiedades (este tipo parece el requisito de que $cof(\alpha) = \kappa$). Quiero elegir a todos a ser débilmente inaccesible, pero no estoy del todo seguro de lo "permitido" y si no hay un enfoque más sencillo.

Mi intento:

• Deje $A = \langle\alpha_i\mid i < \kappa\rangle$, aumentando serie de débilmente inaccesible cardenales, y deje $\alpha = \bigcup_{i < \kappa}\alpha_i$
• $cof(\alpha) = \kappa$. De lo contrario, podemos definir un bijection entre el $A$ $\kappa$ y contradecir $\kappa$'s de la regularidad.
• Sabemos que $\alpha \leq \aleph_\alpha$.
• Suponga $\alpha < \aleph_\alpha$, por lo que no es $i$ tal que $\alpha < \aleph_{\alpha_i}$
• $\alpha_i$ es débilmente inaccesible, por lo tanto es un punto fijo de el aleph de la función, lo que significa que $\alpha_i = \aleph_{\alpha_i}$
• Pero $\alpha < \aleph_{\alpha_i} = \alpha_i < \alpha$, y esto es una contradicción.

Answer 1

No se puede probar la existencia de débilmente inaccesible cardenales. Usted necesita asumir que. Así que, usando inaccesible cardenales generalmente es el enfoque equivocado para este problema.

En su lugar, definimos la siguiente función:

• $F(0)=\aleph_0$,
• $F(\alpha+1)=\aleph_{F(\alpha)}$ (donde $\aleph_{F(\alpha)}$ $\aleph_{\beta}$ donde $\beta$ es el menor ordinal de cardinalidad $F(\alpha)$).
• $F(\delta)=\sup\{F(\alpha)\mid\alpha<\delta\}$ al $\delta$ es un ordinal límite.

No es difícil demostrar que $F$ es normal, y que para cada límite ordinal $\delta$ tenemos $\delta=\aleph_\delta$. Por la normalidad, tenemos que cada posible cofinality se realiza en algún límite ordinal.

Answer 2

Usted no necesita inaccesible cardenales o funciones normales. El índice de $\alpha$ el (ordinal) número de alephs por debajo de $\aleph_\alpha$; un aleph punto fijo es sólo un incontable cardenal $\kappa$ $\kappa$ cardenales debajo de ella.

Tomar cualquier infinita cardenal $\lambda_0$ a empezar. Deje $\lambda_1$ ser un infinito cardenal, con más de $\lambda_0$ cardenales debajo de ella; es decir, si $\lambda_0=\aleph_\alpha$, usted puede tomar $\lambda_1=\aleph_{\omega_{\alpha+1}}$ o algo más grande. Continuar en este camino de $\omega$ pasos, por lo que el $\lambda_{n+1}$ es un cardenal con más de $\lambda_n$ cardenales debajo de ella. Es fácil ver que $\lambda=\sup\{\lambda_n:n\lt\omega\}$ es un aleph punto fijo de cofinality $\omega$. Desde su arranque el cardenal $\lambda_0$ fue arbitraria, vemos que hay arbitrariamente grande aleph puntos fijos (de cofinality $\omega$).

Ahora vamos a $\kappa$ ser cualquiera de los infinitos cardinales. Si $(\mu_\alpha:\alpha\lt\kappa)$ es estrictamente creciente secuencia de aleph puntos fijos, a continuación, $\mu=\sup\{\mu_\alpha:\alpha\lt\kappa\}$ es un aleph punto fijo de cofinality $\kappa$.