Haga $\sqrt{7} \in \mathbb Q(\zeta_{49})$ ?

Question

El problema que tengo es el siguiente:

Demuestra que $\mathbb Q(\zeta_{49},\sqrt{7})=K $ es una extensión de Galois y determinar el grupo de Galois.

Sé que es una extensión de Galois porque es el campo de división de $f(x)=(x^2-7)(\phi_{49}(x))$ , donde $\phi_{49}(x)$ es el polinomio mínimo de $\zeta_{49}$ (a $49$ raíz primitiva de la unidad) pero me cuesta decidir si $\sqrt{7} \in \mathbb Q(\zeta_{49})$ .
Sé que $Aut(\mathbb Q(\zeta_{49})/\mathbb Q)\cong \mathbb Z_{49}^*\cong \mathbb Z_{42}$ es un grupo cíclico, por lo que existe una única subextensión de $K$ que tiene grado 2 en $\mathbb Q$ . Pero no tengo ni idea de cómo concluir.

Answer 1

El grado $[\mathbb{Q}(\zeta_{49})\cap \mathbb{R}:\mathbb{Q}]=21$ es impar, así que...

Answer 2

Otro enfoque que la buena respuesta de @WimC: $[\Bbb Q(\zeta_{49}):\Bbb Q]=42$ y es una extensión ramificada sólo en $7$ con grupo de Galois cíclico. Así que la extensión tiene un solo campo intermedio de cada grado posible, cada uno de ellos ramificado sólo en $7$ . La extensión cuadrática ramificada sólo en $7$ es $\Bbb Q(\sqrt{-7}\,)$ .

Answer 3

La suma cuadrática de Gauss $$S=\sum_{a\in\mathbb F_p}\zeta_p^{a^2}$$ para impar prime $p$ satisface $$S^2=(-1)^{(p-1)/2}p$$ como lo demuestra el cálculo directo. De ello se desprende que para $p=7$ que $$S=\pm\,i\sqrt7\in\mathbb Q(\zeta_7)\subset\mathbb Q(\zeta_{49}),$$ así que $\mathbb Q(i\sqrt7)$ y no $\mathbb Q(\sqrt7)$ es el único subcampo cuadrático de $\mathbb Q(\zeta_{49})$ .