¿Cuál es la solución de la ecuación $9^x - 6^x - 2 \cdot 4^x = 0 $ ?

Question

Quiero resolver: $$9^x - 6^x - 2 \cdot 4^x = 0 $$

Pude llegar a la siguiente ecuación sustituyendo $a$ para $3^x$ y $b$ para $2^x$ :

$$ a^2 - ab - 2b^2 = 0 $$

Y luego intenté

\begin {alineado}x &= \log_3 {a} \\ x &= \log_2 {b} \\ \log_3 {a} &= \log_2 {b} \end {alinear} Pero no sé qué hacer después de este punto. Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

PISTA:

Dividir por $4^x$ para conseguir $$a^2-a-2=0$$ donde $a= \left ( \dfrac32\right )^x$

¿Puedes resolver para $a?$

Ahora de verdad $x,a>0$

Ver también : Leyes de combinación de exponentes

Answer 2

La forma más elegante de resolver esta ecuación fue dada por el laboratorio bhattacharjee, pero simplemente elaboraré la forma de resolverla usando su método, que aún era correcto.

Pista: Tenemos que $$a^2 - ab -2b^2 = 0 \iff b = \frac {a}{2}, \text {or }b= -a.$$

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Ahora tienes un sistema de dos ecuaciones, $ \log_3 a = \log_2 b$ y de esto se puede ver que ninguno de los dos $a$ o $b$ puede ser negativo. Así que tienes que descartar $b=-a$ como una solución. En su lugar, tomamos $b= a/2$ . Sustituyendo esto en la ecuación logarítmica da $$ \log_3 a = \log_2 \frac {a}{2} \implies \large a = 2^{ \frac { \ln 3}{ \ln 3/2}}$$

Luego $$x = \log_3 a = \frac { \ln 3}{ \ln 3/2} \log_3 2 = \frac { \ln 2}{ \ln 3/2} = \frac { \ln 2}{ \ln 3 - \ln 2}$$

Answer 3

Pista: ¿Puedes factorizar el cuadrático?

Answer 4

Es un polinomio cuadrático homogéneo en dos variables. Lo primero que hay que hacer es des-homogeneizarlo: $$a^2-ab-2b^2=b^2 \biggl ( \frac {a^2}{b^2}- \frac ab-2 \biggr )$$ Así que el ajuste $t= \dfrac ab$ tienes que resolver $\;t^2-t-2=0$ que tiene $-1$ como una raíz, por lo tanto la otra es $2$ en la relación entre $a$ y $b$ es: $$a=-b \quad\text {or} \quad a=2b$$ Como $x$ es un número real, la primera solución no puede ocurrir. Así que lo hemos hecho: $$3^x=2^{x+1} \iff 2=x \ln 3=(x+1) \ln2\iff x= \frac { \ln2 }{ \ln 3- \ln 2}.$$