¿Hay un conjunto de siete puntos en el plano tales que, entre tres de estos puntos, hay dos, $P, R$, $1$ aparte de la distancia?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Travis
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Sí. Normalmente me gusta darle un poco más de motivación para una respuesta, pero en este caso es probablemente difícil decir algo sugerente que la ilustración de abajo no, además de tal vez que después de experimentar uno podría suponer que los cuatro puntos de "diamante" configuraciones son útiles (y probablemente sea necesario) en la construcción de un acuerdo.
(Recuerdo haber visto a este problema, por la forma en que, durante un correo en la escuela secundaria de matemáticas de la competencia circa 1999; probablemente la amplia disponibilidad de la Internet hace que sea imposible mantener este tipo de competencia hoy en día.)
Edit he planteado una pregunta de seguimiento, preguntando si esta es la configuración única de hasta Euclidiana movimientos. Servaes escribió una excelente respuesta detallada mostrando que es.
Hagen von Eitzen
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EDIT: Esta respuesta (que empieza con un claro "No".) es incorrecto como puede ser visto desde Travis respuesta (que empieza con un justificado "Sí."). En principio, debo eliminarlo, pero de momento lo voy a dejar aquí porque alguien puede encontrar útil de otras maneras, como la de ver cómo llegar a algunas condiciones necesarias (cf. algunos comentarios)
No.
Asumir $d(A,B)$, $d(A,C)$, $d(A,D)$, $d(A,E)$ son todos los $\ne 1$. A continuación, todas las distancias amoing $B,C,D,E$ debe $=1$. Sin embargo, debido a que el tetraedro cannod ser "aplanado",
Entre cualquiera de los cuatro puntos debe haber dos de distancia $\ne 1$.
Llegamos a la conclusión de que $A$ puede tener a lo sumo tres puntos de distancia $\ne 1$, por lo tanto
Cada punto de has al menos tres puntos de distancia $=1$.
Por lo tanto, si tomamos dos puntos cualesquiera a distancia $\ne1$, entonces uno de los cinco restantes puntos debe ser uno de los puntos de intersección de la $1$-en círculos alrededor de ellos, es decir,
Para cualquiera de los dos puntos $A,B$ $d(A,B)\ne 1$ existe $C$$d(A,C)=d(B,C)=1$.
Se puede tomar desde aquí?
