Encontrar irreducibles separables $g$ tal que $f(x)=g(x^{p^d})$

Question

Este es un ejercicio de VII.4. en Álgebra: Capítulo 0 .

Sea $\mathcal{k}$ sea un campo de característica $p$ y $f(x)\in\mathcal{k}[x]$ un polinomio irreducible inseparable. Encontrar un irreducible separable $g\in\mathcal{k}[x]$ tal que $$\begin{equation}f(x)=g(x^{p^d})\end{equation}$$ para algunos $d\in\mathbb{N}$ .

Llevo tiempo mirando este problema pero creo que me faltan algunos trucos. Supongo que el mapa de Frobenius aparecerá en alguna parte. También podría ayudar saber que $f$ debe ser de la forma $$\begin{equation} f(x)=a_0+a_1x^p+a_2x^{2p}+\cdots+a_sx^{sp}. \end{equation}$$

¿Alguien puede dar una pista? Gracias.

Answer 1

Pista: Desde $f$ no es separable, se puede escribir $f(x)=g(x^p)$ . Si $g$ no es separable, entonces...