¿Cuáles son algunos buenos ejemplos de poleas (no quasicoherent) no se ajusten a la conclusión de Hartshorne lema II.5.3?

Question

Hartshorne, la Geometría Algebraica, Lema II.5.3 lee (aproximadamente):

Deje $X = \operatorname{Spec} A$, vamos a $f \in A$, y deje $\mathscr{F}$ ser un quasicoherent gavilla en $X$.

(a) Si $s \in \Gamma(X, \mathscr{F})$$s|_{D(f)} = 0$$f^n s = 0$$n \gg 0$.

(b) Si $s \in \Gamma(D(f), \mathscr{F})$ $f^n s$ se extiende a todos los de $X$$n \gg 0$.

La prueba de esencialmente los importes de la compensación denominadores.

Estoy tratando de obtener una buena imagen de exactamente lo que este es dominante, pero no tengo una gran imagen mental de un (obviamente no quasicoherent) gavilla donde (a) y (b) que no se mantenga. Hay buenos ejemplos para pensar?

Answer 1

Nunca me gustó cómo Hartshorne presentado esta - mi entendimiento es que el lema dice $\Gamma(D(f), \mathscr{F}) = \Gamma(X, \mathscr{F})_f$. Siempre hay un mapa que sale a la izquierda, y él muestra (a) de inyectividad (b) surjectivity. Esto caracteriza quasicoherence, por lo que cualquier no-quasicoherent $\mathscr{O}_X$-módulo debe hacer.

Vamos a probar un estándar ejemplo de no-quasicoherent ideal gavilla: $A = k[x]_{(x)}$ $\mathscr{F}$ asigna $k(x)$ a los genéricos de punto y $0$ a todo el espacio. Luego (b) falla con $f = x$.

Me gustaría tener más intuición que ofrecemos, pero no quasicoherent poleas parecen bastante exótico para mí, ya que parecen salir de la costumbre de la correspondencia entre la geometría y el álgebra.

Answer 2

El ejemplo estándar, a menudo pienso de ((b)) es la siguiente: vamos a $X = \mathbb{A}^1$ y deje $\mathscr{F}$ ser la gavilla de holomorphic funciones. (En otras palabras, la "analítica de la estructura de la gavilla".)

Por lo $\Gamma(X,\mathscr{F})$ es el conjunto de toda la holomorphic funciones en $\mathbb{C}$, e $\Gamma(X,\mathscr{F})_x$ es el conjunto de meromorphic funciones con finito (orden) los polos a 0 (ya que podemos invertir $x$).

Pero este no es el mismo que $\Gamma(\mathbb{C}-\{0\},\mathscr{F})$: contiene holomorphic funciones esenciales de singularidades en $0$, como $e^{1/x}$.

Así que tienes razón que el quasicoherent caso se trata de "eliminación de denominadores" -- en este caso, no podemos hacer eso ya que ningún poder de la $x$ puede $e^{1/x}$ extender a $x=0$. (Como Hoot señala, esta es una de las formas en que la correspondencia entre la geometría y el álgebra se puede romper. Cosas como esta son la razón por la GAGA teoremas sólo para variedades proyectivas!)

Answer 3

Respuestas excelentes de puesto que Hoot y de Jake no dirección punto un), aquí es un contraejemplo a una) en el caso no cuasi-coherente.

Que $A$ ser un anillo discreto de la valuación con uniformizadora % parámetro $t$, por lo que $X=\operatorname {Spec}(A)={\eta,m}$ $\eta=(0)$ del genérico punto y $m=(t)$ el punto cerrado.
Definir la gavilla $\mathcal F$ de $\mathcal O_X$-módulos $\Gamma(X, \mathcal{F})=A$ y $\Gamma(D(t), \mathcal{F})=0$
Entonces el % de sección $s=1A\in \Gamma(X, \mathcal{F})=A$tiene la propiedad de que $s|{D(t)} = 0\in \Gamma(D(t), \mathcal{F})$ pero es falso para cualquier $t^n\cdot 1_A=t^n=0 \in \Gamma(X, \mathcal{F})=A$ $n\gt 0$.