Esta es una cuestión de la simetría del tipo, tal como aparece en:
Con una restricción $\;x+y+z=1\;$$\;x,y,z > 0$ . Tipo de un método general para transformar esa restricción en el interior de un triángulo en 2-D ha sido explicado en detalle en:
Nuestra función $f$ en este caso es:
$$ f(x,y,z) = \dfrac{x+y}{\sqrt{x^2+xy+y^2+yz}}+\dfrac{y+z}{\sqrt{y^2+yz+z^2+zx}}+\dfrac{z+x}{\sqrt{z^2+zx+x^2+xy}} - \left[2+\sqrt{\dfrac{xy+yz+xz}{x^2+y^2+z^2}}\right]$$
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Lugares donde $\;|f(x,y,z)|\;$ es menos que, digamos, $\;\epsilon\;$ ("eps", véase más abajo), son de color $\color{blue}{blue}$.
Las manchas azules en las fotos son una prueba sin palabras
que el minimo es de hecho muy cerca de cero y cerca del punto medio $M$ del triángulo equilátero: $(x_M,y_M,z_M) = (1/3,1/3,1/3)$ .
- La imagen de arriba a la izquierda: la geometría de las condiciones de $\;x,y,z > 0\;$$\;x+y+z=1$ .
- La imagen de arriba a la derecha: líneas de contorno de $f(x,y,z)$ , como se ve en el plano de la $\color{red}{red}$ triángulo,
se a $25$ equidistante de los niveles, entre el mínimo y el máximo, como se encuentra dentro de la ventanilla
- La imagen de abajo a la izquierda: la ampliación de la $\color{blue}{blue\, spot}$ en la imagen de arriba a la derecha
- La imagen de abajo a la derecha: la misma ampliación, pero con el valor de $\epsilon$ reduce a un valor mucho menor
Un par de detalles más:
- Los valores de la función cerca de la ventanilla mínimo son blancos
- Los valores de la función cerca de la ventanilla del máximo son de color negro
- Contorno gris los valores son justo al revés
A = (1,0,0); S = (0,0,0); eps := 0.0003;
B = (0,1,0); M = (1/3,1/3,1/3); xmin := -0.7; xmax := 0.7;
C = (0,0,1); ymin := -0.6; ymax := 0.8;
xmin := -0.02; xmax := 0.02; eps := eps/4096;
ymin := -0.02; ymax := 0.02;
Dos o tres iteraciones resultado en imágenes que, de forma muy notable, apenas puede distinguirse de las dos imágenes en la parte inferior:
- Imagen en la parte inferior izquierda: ampliación $\times 64$ de la $\color{blue}{blue\,spot}$ en la imagen, abajo a la derecha
- La imagen de abajo a la derecha: la misma ampliación, pero con el valor de $\;\epsilon\;$ reduce a $\;\epsilon/4096\;$
xmin := xmin/64; xmax := xmax/64; eps := eps/4096;
ymin := ymin/64; ymax := ymax/64;
Con los cálculos que termina en un "intervalo de comprobación de error" porque $\epsilon$ ( = eps) se ha convertido en cero (demasiado) rápidamente. Que - żde acuerdo? - es una prueba de la declaración a no menos de precisión de la máquina.
Un local y de planos ortogonales sistema de coordenadas para el triángulo equilátero se puede obtener como:
$$
\vec{e}_\xi = \vec{OB}-\vec{OA} = \left[ \begin{array}{c} -1 \\ +1 \\ 0 \end{array} \right] / \sqrt{2}\\
\vec{e}_\eta = \vec{OC}-\left(\vec{OA}+\vec{OB}\right)/2 = \left[ \begin{array}{c} -1/2 \\ -1/2 \\ +1 \end{array} \right] / \sqrt{3/2}
$$
Dar para la relación entre las coordenadas globales $(x,y,z)$ locales y las coordenadas del triángulo $(\xi,\eta)$:
$$
x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \xi -\frac{1}{\sqrt{6}} \eta + \frac{1}{3}\\
y = +\frac{1}{\sqrt{2}} \xi -\frac{1}{\sqrt{6}} \eta + \frac{1}{3}\\
z = \sqrt{\frac{2}{3}} \eta + \frac{1}{3}
$$
Se comprueba fácilmente que $x+y+z=1$ ; el origen del sistema de coordenadas local está en $(\xi,\eta) = (0,0)$ .
De esta manera, la función puede ser expresada en los locales de las coordenadas del triángulo, pero (al menos para mí) que no simplificar el rompecabezas mucho.
Un método común para el estudio de la función de $f(x,y,z)$, en el barrio de $M$ es tomar derivados en ese momento (sin un sistema de álgebra computacional es un trabajo tedioso). Para empezar, el cero - orden de la derivada es cero:
$$
f(M) = 0
$$
El primer fin de derivados son cero, así, lo que significa que hay un extremo a esperar allí:
$$
\left[ \begin{array}{c}
\frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z}
\end{array} \right] (M) =
\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]
$$
El segundo orden derivados se resumen en una matriz Hessiana:
$$
\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^ f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^ f}{\partial y^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} & \frac{\partial^ f}{\partial z \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
\end{array} \right] (M) =
\frac{51}{64} \left[ \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{array} \right]
$$
Por lo tanto, $f(x,y,z)(M)$ se puede aproximar por la siguiente expansión en series de Taylor:
$$
f(x,y,z)(M) \approx \frac{51}{32} \left( x^2 + y^2 + z^2 - x y - x, z - y z \right)
$$
Para investigar la naturaleza de esta expresión,
valores propios y vectores propios de la matriz Hessiana se determinan:
$$
\left| \begin{array}{ccc} 2-\lambda & -1 & -1 \\ -1 & 2-\lambda & -1 \\ -1 & -1 & 2-\lambda \end{array} \right| =
-\lambda^3 + 6 \lambda^2 - 9\lambda = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \lambda \en \left\{ 0,3 \right\}
$$
La normativa autovector correspondiente con $\;\lambda=0\;$ $\;(1,1,1)/\sqrt{3}\;$ y la normativa vectores propios correspondientes
con $\;\lambda=3\;$ es nada en el avión $\;x+y+z=0\;$ , la cual es paralela al plano de nuestra triángulo equilátero. De modo que podemos elegir el local triángulo sistema de coordenadas para el último:
$$
\vec{e}_\xi = \left[ \begin{array}{c} -1 \\ +1 \\ 0 \end{array} \right] / \sqrt{2} \qquad
\vec{e}_\eta = \left[ \begin{array}{c} -1/2 \\ -1/2 \\ +1 \end{array} \right] / \sqrt{3/2} \qquad
\vec{e}_\zeta = \left[ \begin{array}{c} +1 \\ +1 \\ +1 \end{array} \right] / \sqrt{3}
$$
Si expresamos la "sección cónica" en los locales de las coordenadas, entonces lo que tenemos es la siguiente:
$$
x^2 + y^2 + z^2 - x y - x, z - y z = 3 \xi^2 + 3 \eta^2 = \frac{\xi^2}{1/3} + \frac{\eta^2}{1/3} + \frac{\zeta^2}{\infty}
$$
El iso-superficies de un cilindro circular con eje en la dirección de la $\;\vec{OM} = (1,1,1)/3 $ . Por lo tanto, como una primera aproximación,
las isolíneas en el barrio de $M$ debe ser círculos, que es exactamente lo que se observa en las fotos:
$$
f(x,y,z)(M) \approx \frac{153}{32} \left( \xi^2 + \eta^2 \right) \qquad \mbox{para} \qquad x+y+z=1
$$
El comportamiento de estas iteraciones se explica bastante bien con esta teoría.
También es trivial que la única mínimo encontrado con esta aproximación es $\,0\,$ en la mitad de la $M$$(\xi,\eta) = (0,0)$ .
Supongo que algo más se necesita, sin embargo, para convertir el último argumento en un die hard prueba.
