Factores irreducibles de un polinomio en una extensión de Galois

Question

Que $E|F$ ser una extensión finita de Galois y $f(x) \in F[x]$ un polinomio irreducible. Demostrar que cada uno de los factores irreducibles de $f(x)$ $E[x]$ tiene el mismo grado.

Una idea: que $\phi \in Gal(E|F)$ y $f(x)=g_1(x) \ldots g_m(x)$, donde $g_i(x) \in E[x]$ es irreducible. Desde $\phi$ fija F, $f(x)=\phi f(x)=\phi g_1(x) \ldots \phi g_m(x)$. Por lo tanto, ya que la factorización es única $\phi$ permutes $g_i$'s. Nota que $\phi$ conserva el grado del polinomio. Por lo tanto, si podemos demostrar que $Gal(E|F)$ actúa transitoriamente en ${g_1(x), \ldots ,g_m(x)}$, entonces hemos terminado.

Answer 1

Deje $g_1(x)$ ser uno de los factores irreducibles en $E[x]$. Deje $H\le G$ ser el subgrupo de automorfismos que corrige todos los coeficientes de $g_1$, y deje $D=\{\tau_1,\tau_2,\ldots,\tau_k\}$ ser un conjunto de representantes de la izquierda cosets de $H$.

Considere el polinomio $$ g(x)=\prod_{i=1}^k(\tau_i g_1)(x). $$ Corrección de un elemento $\phi\in G$. Tenemos que $\phi D$ es otro conjunto de reprensentatives de izquierda cosets de $H$. En otras palabras, hay una permutación $\alpha\in S_k$ tal que $$ \phi\tau_i=\tau_{\alpha(i)}h_i $$ para todos los $i=1,2,\ldots,k,$ y algunos de los elementos $h_i\in H$. Por lo tanto $$ \begin{aligned} (\phi g)(x)&=\prod_{i=1}^k(\phi\tau_i g_1)(x)\\ &=\prod_{i=1}^k(\tau_{\alpha(i)}h_i g_1)(x)\\ &=\prod_{i=1}^k(\tau_{\alpha(i)}g_1)(x)\\ &=g(x). \end{aligned} $$ Como $\phi$ era arbitraria, esto significa que $g(x)$ se fija en virtud de todos los de $G$. Por lo tanto,$g(x)\in F[x]$.

Como se observa, todos los polinomios $\tau_i g_1$ son factores de $f$. Como son distintos, por lo que es su producto $g(x)$. Pero $f(x)$ que se supone que es irreductible, por lo que debemos tener $g(x)=f(x)$. El reclamo sigue de esto de la manera que usted describe.

Answer 2

Considere la posibilidad de la acción de la $\text{Gal}(E/F)$ sobre los factores $g_1,\ldots, g_m$ y se supone que es no transitiva, decir que no $\sigma$ envía $g_1$$g_2$.

Luego tenemos a $\{\sigma(g_1) : \sigma\in G\}\cap \{\sigma(g_2) : \sigma\in G\}=\varnothing$, es decir, las órbitas $G\cdot g_1, G\cdot g_2$ son disjuntas. Pero, a continuación, podemos encontrar una función racional $q(x)\in E(x)$, de modo que $g_1|\sigma(q)$$g_2|\sigma(q)^{-1}$, para cada una de las $\sigma\in G$ gracias a la CRT donde la división significa que se divide el numerador y el $^{-1}$ significa recíproco.

Sin embargo,

$$f\bigg|\prod_\sigma \sigma(q)$$

debido a $G$ permutes todas las raíces de $f$ transitivamente. Al mismo tiempo, hemos

$$f\bigg |\prod_\sigma \sigma(q)^{-1}$$

por el mismo motivo: una evidente imposibilidad desde $q(x)$ puede ser llevado a ser reducido.